$解：(2) ①由题意， 得 \angle B=\angle C=90^{\circ}， A B=B E=E C=C D.$
$因为 \triangle E G F 与 \triangle E A B 位似， 且相似比 为 1： 2，$
$所以 \angle G F E=\angle B=90^{\circ}， G F=\frac {1}{2}\ \mathrm {A}\ \mathrm {B}，\ $
$F E=\frac {1}{2}\ \mathrm {B}\ \mathrm {E}，$
$所以 \angle G F E=\angle C.$
$因为 H 是 E C 的 中点，$
$所以 E H=H C=\frac {1}{2}\ \mathrm {E}\ \mathrm {C}，$
$所以 G F=H C， F H=F E+E H=\frac {1}{2}\ \mathrm {B}\ \mathrm {E}+\frac {1}{2}\ \mathrm {E}\ \mathrm {C}=\frac {1}{2}\ \mathrm {B}\ \mathrm {C}=E C=C D.$
$在 \triangle H G F 和 \triangle D H C 中，$
$\{\begin{array}{l}G F=H C， \\ \angle G F H=\angle C \\ F H=C D，\end{array}.$
$所以 \triangle H G F ≌ \triangle D H C，$
$所以 G H=H D， \angle G H F=∠HDC$
$因为 \angle H D C+\angle D H C=90^{\circ}，$
$所以 \angle G H F+\angle D H C=90^{\circ}，$
$所以 \angle G H D=90^{\circ}， 即 G H \perp H D.$
$②当 G H=H D 且 G H \perp H D 时，\ $
$\angle F H G+\angle C H D=90^{\circ}.$
$因为 \angle F H G+\angle F G H=90^{\circ}，$
$所以 \angle F G H=\angle C H D.$
$在 \triangle G F H 和 \triangle H C D 中，$
$\{\begin{array}{l}\angle G F H=\angle H C D， \\ \angle F G H=\angle C H D， \\ G H=H D，\end{array}.$
$所以△GFH≌△HCD$
$所以 F G=C H.$
$因为 F E=F G，$
$所以 F E=C H.$
$因为 B C=2， E 是 B C 的中点，$
$所以 B E=\frac {1}{2}\ \mathrm {B}\ \mathrm {C}=1.$
$因为 \triangle E G F 与 \triangle E A B 的相似比为 k： 1，$
$所以 \frac {F E}{B E}=k，$
$所以 CH=F E=k.$
$故当 CH 的长为 k 时， 恰好使得 G H=H D\ $
$且 G H \perp H D.$
