$证明:∵四边形ABCD是平行四边形，$ $∴AD//BC.$ $∴∠ADF=\ ∠DEC.\ $ $在 △AFD 和 △DCE 中，\ $ $\begin{cases}{∠DAF=∠EDC,}\\{AD=DE，\ }\\{∠ADF=∠DEC,\ }\end{cases}$ $∴△AFD≌△DCE.$ $∴DF=EC$
$证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形$ $∴AB = CD$ $∵∠B=∠AEB$ $∴AB=AE$ $∴AE= CD$
$解:(2)AC=DE，理由如下：$ $∵四边形ABCD是平行四边形$ $∴∠B=∠ADC,AD//BC$ $∴∠DAE=∠AEB$ $∵∠B=∠AEB$ $∴∠B=∠AEB=∠DAE=∠ADC$ $由(1),得AE=CD$ $在△ADC和△DAE中$ $\begin{cases}CD= EA\\∠ADC=∠DAE\\AD= DA\end{cases}$ $∴△ADC ≌△DAE$ $∴ AC= DE$
$解:(1)∵∠C=60°,AC=BC,$ $∴ △ABC是等边三角形$ $∴AB=BC,∠ABC=∠C=60°$ $在△ABE和△BCF 中，$ $\begin{cases}{AB=BC，\ }\\{∠ABE=∠C,}\\{BE=CF,\ }\end{cases}$ $∴ △ABE≌△BCF.\ $ $∴ ∠BAE=∠CBF.$ $∴∠BGE=∠ABG+∠BAE$ $=∠ABG+∠CBF$ $=∠ABC$ $=60°$
$证明:(2)如图，$ $延长GE至点H，使GH=GB，$ $连接BH.$ $∵∠BGE=60°,$ $∴△BGH为等边三角形$ $∴BG=BH=GH,∠GBH=60°.$ $∵ 四边形ADBC是平行四边形，$ $∴∠ADB=∠C=60°,AD=BC,BD=AC.$ $∵ AC=BC，$ $∴AD=BD.$ $∴ △ABD 是等边三角形\ $ $∴ AB=BD,∠ABD=60°.$ $∵∠ABH=∠GBH+∠ABG,∠DBG=∠ABD+∠ABG$ $\ ∴∠ABH=∠DBG.$ $在△DBG和△ABH中,\ $ $\begin{cases}{DB=AB，}\\{∠DBG=∠ABH,}\\{BG=BH，\ }\end{cases}$ $∴ △DBG≌△ABH.\ $ $∴ DG=AH.\ $ $∵AH=AG+GH,$ $∴DG=AG+BG$
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