解：$(1)$只闭合开关$S_{1}$时，只有$R_{1}$连入电路，
电源电压$U=I_{1}R_{1}=0.9\ \mathrm {A}×10 \ \mathrm {Ω}=9\ \mathrm {V}$
$(2)$开关$S_{1}$、$S_{2}$、$S_{3}$都闭合时，滑动变阻器短路，$R_{1}$与$R_{2}$并联，
通过$R_{2}$的电流$I_{2}=I-I_{1}=1.5\ \mathrm {A}-0.9\ \mathrm {A}=0.6\ \mathrm {A}$，
$R_{2}$消耗的电能$W_{2}=U_{2}I_{2}t=9\ \mathrm {V}×0.6\ \mathrm {A}×10\ \mathrm {s}=54\ \mathrm {J}$
$(3)W_{1\ \mathrm {max}}=I_{\mathrm {max}}^2R_{1}t'=(0.5\ \mathrm {A})^2×10 \ \mathrm {Ω}×60\ \mathrm {s}=150\ \mathrm {J}$
$I_{\mathrm {\mathrm {min}}}=\frac {U}{R_{1}+R_{3}}=\frac {9\ \mathrm {V}}{10 \ \mathrm {Ω}+20 \ \mathrm {Ω}}=0.3\ \mathrm {A}$
$W_{1\mathrm {\mathrm {min}}}=I_{\mathrm {\mathrm {min}}}^2R_{1}t=(0.3\ \mathrm {A})^2×10 \ \mathrm {Ω}×60\ \mathrm {s}=54\ \mathrm {J}$
所以$R_{1}$电功的变化范围是$54\sim 150\ \mathrm {J}.$
