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解：​$(1) $​由图甲可知，当开关​$S $​向上与触点​$a$​、​$b$​接通时，电热丝​$R_{1} $​和​$R_{2} $​并联，此时电路的总电阻最小，由​$ P=\frac {U^2}{R}$​可知电路的总功率最大，当​$S $​向下仅与触点​$c $​接通时，电路为​$R_{2} $​的简单电路，电路的电阻最大，总功率最小：​$ 10\sim 15 \mathrm {\mathrm {min}}$​的过程中​$R_{2} $​消耗的电能为​$ 1.32×10^5\ \mathrm {J}$​，​$R_{2} $​工作时的功率​$ P_{2}=\frac {W}{t}=\frac {1.32×10^5\ \mathrm {J}}{5×60\ \mathrm {s}}=440\ \mathrm {W}.$​

​$(2)R_{2}=\frac {U^2}{P_{2}}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{440\ \mathrm {W}}=110 \ \mathrm {Ω}$​，​$R_{1}=110\ \mathrm {Ω}×2=220\ \mathrm {Ω}$​，开关与触点​$a$​、​$b$​接通时，电路的总功率​$ P = \frac {U^2}{R_{1}}+P_{2} = \frac {(220\ \mathrm {V})^2}{220\ \mathrm {Ω}}+440\ \mathrm {W}=660\ \mathrm {W}.$​

​$(3) $​若某次实际煮饭用时与正常煮饭用时之比为​$ 100∶ 81$​，因为煮饭需要的​$W $​电能是不变的，所以​$\frac {P_{实}}{P_{额}}=\frac {\frac W{t_{实}}}{\frac W{t_{额}}}=\frac {t_{额}}{t_{实}}=\frac {81}{100}$​，由​$ P= \frac {U^2}{R}$​可得，​$\frac {U_{实}}{U_{额}}=\sqrt {\frac {P_{实}}{P_{额}}}= \sqrt {\frac {81}{100}}= \frac 9{10}$​，所以​$U_{实}=\frac 9{10}U_{额}=\frac 9{10}×220\ \mathrm {V}=198\ \mathrm {V}.$​

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解：​$(1)$​当所有开关都闭合时，小灯泡​$L $​与滑动变阻器​$R_{2}$​并联，小灯泡正常发光，

则​$U=U_{2}=U_{L}=12\ \mathrm {V}$​，滑动变阻器的滑片移到最上端时，滑动变阻器连入的电阻​$R_{2}=10\ \mathrm {Ω}$​，

通过滑动变阻器的电流​$I_{2}=\frac {U_{2}}{R_{2}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{10\ \mathrm {Ω}}=1.2\ \mathrm {A}$​，

通过小灯泡的电流​$I_{L}=I-I_{2}=1.7\ \mathrm {A}-1.2\ \mathrm {A}=0.5\ \mathrm {A}$​，

小灯泡的额定功率​$P_{L}=U_{L}I_{L}=12\ \mathrm {V}×0.5\ \mathrm {A}=6\ \mathrm {W}.$​

​$(2)$​开关​$S$​、​$S_{2}$​闭合，​$S_{1}$​、​$S_{3}$​断开时，定值电阻​$R_{1}$​与小灯泡​$L $​串联，

小灯泡的电阻​$R_{L}=\frac {U_{L}}{I_{L}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{0.5\ \mathrm {A}}=24\ \mathrm {Ω}$​，

电路中的电流​$I'=\frac {U}{R_{1}+R_{L}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{6\ \mathrm {Ω}+24\ \mathrm {Ω}}=0.4\ \mathrm {A}$​，

定值电阻​$R_{1}$​两端的电压​$U_{1}=I_{1}R_{1}=0.4\ \mathrm {A}×6\ \mathrm {Ω}=2.4\ \mathrm {V}.$​

小灯泡的实际功率​$P_{L}'=I'^2R_{L}=(0.4\ \mathrm {A})^2×24 \ \mathrm {Ω}=3.84\ \mathrm {W}$​

​$(3)$​开关​$S$​、​$S_{3}$​闭合，​$S_{1}$​、​$S_{2}$​断开时，定值电阻​$R_{1}$​和滑动变阻器​$R_{2}$​串联，

题中要求的电流至少达到电流表量程的​$\frac 13$​，电流表的量程为​$0～3\ \mathrm {A}$​

则电路中的最小电流​$I_{最小}=\frac 13×3\ \mathrm {A}=1\ \mathrm {A}$​，

电路中的最大电阻​$R=\frac {U}{I_{最小}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{1\ \mathrm {A}}=12\ \mathrm {Ω}$​，

滑动变阻器连入电路中的最大阻值​$R_{2最大}=R-R_{1}=12\ \mathrm {Ω}-6\ \mathrm {Ω}=6\ \mathrm {Ω}.$​