解：$ (1) $由图甲可知，$R_{0} $与$ R $串联，电压表测$R_{0}$两端的电压，由串联电路的电压规律可得，$R $两端的电压$U_{R}=U-U_{0}=6\ \mathrm {V}-4\ \mathrm {V}=2\ \mathrm {V}$，此时电路中的电流$I=\frac {U_{0}}{R_{0}}=\frac {4\ \mathrm {V}}{10\ \mathrm {Ω}}=0.4\ \mathrm {A}$，则气敏电阻$R $的阻值$R=\frac {U_{R}}{I}=\frac {2\ \mathrm {V}}{0.4\ \mathrm {A}}=5 \ \mathrm {Ω}.$
$(2) $由图乙可知，当空气质量指数为$ 25 $时，$ $气敏电阻的倒数$\frac 1{R'} =0.1 \ \mathrm {Ω}^{-1}$，则气敏电阻的阻值$R'=\frac 1{0.1\ \mathrm {Ω}^{-1}}=10\ \mathrm {Ω}$，此时电路中的电流$ I' = \frac {U}{R_{0}+R'}=\frac {6\ \mathrm {V}}{10\ \mathrm {Ω}+10\ \mathrm {Ω}}=0.3\ \mathrm {A}$，通电$ 1 \mathrm {\mathrm {min}}$，电流通过$R_{0}$产生的热量$Q_{0}=I'^2R_{0}t=(0.3\ \mathrm {A})^2×10\ \mathrm {Ω}×60\ \mathrm {s}=54\ \mathrm {J}.$
