解：$(1) $由表格数据可知，电烤箱低温挡的功率$P_{低温}=440\ \mathrm {W}$，由$P=UI $可得，电烤箱在低温挡正常工作时的电流$ I_{低温}=\frac {P_{低温}}U=\frac {440\ \mathrm {W}}{220\ \mathrm {V}}= 2\ \mathrm {A}.$
$(2)$由图甲可知，当旋转开关接$1$时，$R_{1}$、$R_{2}$串联，此时电路的总电阻最大，由$ P=\frac {U^2}{R}$可知， 总功率最小，电烤箱处于低温挡；当旋转开关接$3$时，$R_{1}$、$R_{2}$并联，此时电路的总电阻最小，总功率最大，电烤箱处于高温挡；当旋转开关接$2$时，只有$R_{1}$工作，电烤箱处于中温挡由$P=\frac {U^2}{R}$可得，$R_{1}$的阻值$R_{1}=\frac {U^2}{P_{中温}}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{800\ \mathrm {W}}=60.5\ \mathrm {Ω}$，$R_{1}$、$R_{2} $串联的总电阻$R=\frac {U^2}{P_{低温}}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{440\ \mathrm {W}}=110 \ \mathrm {Ω}$，$R_{2} $的阻值$R_{2}=R-R_{1}=110 \ \mathrm {Ω}-60.5\ \mathrm {Ω}=49.5\ \mathrm {Ω}.$
$(3)$图乙中的$3000 r/(\mathrm {kW·h})$表示电路中的用电器每消耗$1\ \mathrm {kW·h}_{电能}$，电能表的转盘转过$3000$圈，则电能表的转盘转过$ 105 $圈，此过程中电烤箱消耗的电能$W=\frac {105 r}{3000r/(\mathrm {kW·h})}=0.035\ \mathrm {kW·h}=1.26×10^5\ \mathrm {J}$，此段时间中温挡实际电功率$P_{实}=\frac W{t'}=\frac {1.26×10^5\ \mathrm {J}}{3×60\ \mathrm {s}}=700\ \mathrm {W}.$
$(4)$电烤箱中温挡工作$2 \mathrm {\mathrm {min}}$消耗的电能$W'=P_{中温}t''=800\ \mathrm {W}×2×60\ \mathrm {s}=9.6×10^4\ \mathrm {J}$，不计热量损失，蛋糕液吸收的热量$Q_{吸}=W'=9.6×10^4\ \mathrm {J}$，由$Q_{吸}=cm(t-t_{0})$可得，$ $蛋糕液的末温$ t = \frac {Q_{吸}}{cm}+t_{0} =\frac {9.6×10^4\ \mathrm {J}}{2.2×10^3\ \mathrm {J/}(\mathrm {kg·℃})×1\ \mathrm {kg}}+20℃≈63.6℃$
