解：$(2) $电动机铭牌上标有$''220\ \mathrm {V} 40\ \mathrm {W}''$的字样，开门一次电动机消耗电能$W=Pt=40\ \mathrm {W}×5\ \mathrm {s}=200\ \mathrm {J}. $
$(3) $当电磁铁线圈中的电流为$100\ \mathrm {mA}=0.1\ \mathrm {A}$时，衔铁刚好被吸下，触发电动机工作，大门打开，此时控制电路的总电阻$ R_{总}=\frac {U}{I}=\frac {24\ \mathrm {V}}{0.1\ \mathrm {A}}=240\ \mathrm {Ω}$，由图乙可知，当$L=3\ \mathrm {m} $时，$R $的阻值为$ 120\ \mathrm {Ω}$，则$R_{1}=R_{总}-R=240\ \mathrm {Ω}-120\ \mathrm {Ω}=120\ \mathrm {Ω}.$
$(4)$由图乙可知，若门前$6\ \mathrm {m} $内没有人，$R=180\ \mathrm {Ω}$，此时控制电路的电功率$P'=\frac {U^2}{R_{总}'}=\frac {(24\ \mathrm {V})^2}{120 \ \mathrm {Ω}+180 \ \mathrm {Ω}}=1.92\ \mathrm {W}$
