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$解：(1)∵正比例函数y=4x的图像与反比例函数y=\frac{k}{x}在第一$

$象限内的图像交于点A(a，4)，$

$∴4=4a.$

$∴a=1.$

$∴A(1，4).\ $

$∴k=4×1=4.$

$∴反比例函数的表达式为y=\frac{4}{x}$

$(2)当x=2时，y=\frac{4}{2}=2，$

$∴B(2，2).$

$∴BC=2.$

$∵点D在第一象限，以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，$

$∴AD//BC，AD= BC=2.$

$∵BC⊥x轴，$

$∴点D的坐标为(1，2)或(1，6)$

$解：(1)如图，过点C作CE⊥AB，垂足为E.$

$∵AC=BC，AB=8$

$∴AE=BE=4$

$在Rt△BCE中，BC=5，BE=4$

$∴CE=\sqrt{BC^2-BE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$

$∵OA=8$

$∴易得点C的坐标为(5，4)$

$∵函数y=\frac{k}{x}的图像经过点C，$

$∴k=5×4=20$

$(2)设点A的坐标为(m，0)，∵BD=BC=5，AB=8$

$∴AD=3$

$∴D、C两点的坐标分别为(m，3)，(m-3，4)$

$∵点C、D都在函数y=\frac{k}{x}的图像上$

$∴3m=4(m-3)$

$∴m=12$

$∴点C的坐标为(9，4)$

$∴OC=\sqrt{9^2+4^2}=\sqrt{97}$

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