解：$(1)$由图知，使用动滑轮时，承担厢体和滑轮重的绳子段数$n=2$，忽略绳重摩擦，空厢匀速竖直上升时绳子的拉力：$F=\frac 1{n}(G_{厢}+G_{动})=\frac 12×(150\ \mathrm {N}+100\ \mathrm {N})=125\ \mathrm {N}$；
$(2)$将空厢竖直提升$3\ \mathrm {m}$，绳端移动距离：$s=2\ \mathrm {h}=2×3\ \mathrm {m}=6\ \mathrm {m}$，拉力做功：$W=Fs=125\ \mathrm {N}×6\ \mathrm {m}=750\ \mathrm {J}$，拉力做功的功率：$P=\frac {W}{t}=\frac {750\ \mathrm {J}}{6\ \mathrm {s}}=125\ \mathrm {W}$；
$(3)$控制电路的最大电流$I=0.03\ \mathrm {A}$时，载重量最大，控制电路最小总电阻$R=\frac {U}{I}=\frac {12\ \mathrm {V}}{0.03\ \mathrm {A}}=400 \ \mathrm {Ω}$，$R_{F} =R- R_{0}=400 \ \mathrm {Ω} -200 \ \mathrm {Ω} =200 \ \mathrm {Ω}$，当$R_{F}=200 \ \mathrm {Ω}$时，压力$F_{压} =900\ \mathrm {N}$，即最大载重$G_{物}=F_{压}-G_{厢}=900\ \mathrm {N} - 150\ \mathrm {N} =750\ \mathrm {N}$，最大机械效率$η=\frac {W_{有}}{W_{总}}=\frac {G}{G_{厢}+G+G_{板}}=\frac {750\ \mathrm {N}}{150\ \mathrm {N}+750\ \mathrm {N}+100\ \mathrm {N}}×100\%=75 \%$
$(4)$减小$R_{0}($或增大电源电压等其他合理答案$)$
