解：$(1)$一辆太阳能汽车的功率为$12\ \mathrm {kW}$，平均每天要行驶$2\ \mathrm {h}$，
则太阳能汽车消耗的电能：
$W_{电}=Pt=12\ \mathrm {kW}×2\ \mathrm {h}=24\ \mathrm {kW·h}$，
由$η=\frac {W_{电}}{W_{太}}×100\%$可得，接收的太阳能：
$W_{太}=\frac {W_{电}}{η}=\frac {24\ \mathrm {kW·h}}{20\%}=120\ \mathrm {kW·h}$，
接收太阳光的总功率：
$P_{太}=\frac {W_{太}}{t}=\frac {120\ \mathrm {kW·h}}{10\ \mathrm {h}}=12\ \mathrm {kW}$，
已知该太阳能电池板$1\ \mathrm {m^2}$面积上接收到的太阳平均辐射功率为$1\ \mathrm {kW}$，
则太阳能电池板的最小面积：$S=\frac {12\ \mathrm {kW}}{1\ \mathrm {kW}/\mathrm {m^2}}=12\ \mathrm {m^2}.$
$(2)$燃油完全燃烧放出的热量：
$Q_{放}=mq=1500\ \mathrm {kg}×4×10^7\ \mathrm {J/kg}=6×10^{10}\ \mathrm {J}$，
由$η=\frac {W_{机械}}{Q_{放}}×100\%$得，发动机输出的机械功：
$W_{机械}=η_{1}Q_{放}=40\%×6×10^{10}\ \mathrm {J}=2.4×10^{10}\ \mathrm {J}$，
由$v=\frac {s}{t}$得，飞机通过的路程：
$s=vt=900\ \mathrm {km/h}×0.5\ \mathrm {h}=450\ \mathrm {km}=4.5×10^5\ \mathrm {m}$，
则发动机的推力做功：
$W_{推力}=Fs=4×10^4\ \mathrm {N}×4.5×10^5\ \mathrm {m} m=1.8×10^{10}\ \mathrm {J}$，
则此过程中发动机的推进效率：
$η_{2}=\frac {W_{推力}}{W_{机械}}×100\%=\frac {1.8×10^{10}\ \mathrm {J}}{2.4×10^{10}\ \mathrm {J}}×100\%=75\%.$
