解:$(2)①$第一次不装水时,额定功率为$ 1800\ \mathrm {W} $的发热电阻$R_{1} $工作$40\ \mathrm {s} $消耗的电能$W=Pt=1800\ \mathrm {W}×40\ \mathrm {s}=7.2×10^4\ \mathrm {J}.$
$②$加入质量为$ 1.5\ \mathrm {kg}$、初温为$25℃$的水,将水烧开,$t_{1} $时间内水吸收的热量$Q=c_{水}m∆t=4.2×10^3\ \mathrm {J/}(\mathrm {kg·℃})×1.5\ \mathrm {kg}×(100℃-25℃)=4.725×10^5\ \mathrm {J}.$