解：$(1)①$由题意可得，水吸收的热量$Q_{吸}=c_{水}m∆t=4.2×10^3\ \mathrm {J/}(\mathrm {kg·℃})×1.2\ \mathrm {kg}×25℃=1.26×10^5\ \mathrm {J}.$
②由题意可知，加热器产生的热量$Q_{放}=Q_{吸}=1.26×10^5\ \mathrm {J}$，则高挡位的功率$P_{高}=\frac {Q_{放}}t=\frac {1.26×10^5\ \mathrm {J}}{140\ \mathrm {s}}=900\ \mathrm {W}.$
$③$当$S $断开，$R_{2}$单独连入电路时，电路电阻较大，电功率较小，加热器为低挡位，低挡位的功率$P_{低}=\frac {U^2}{R_{2}}=\frac {(220\ \mathrm {V})^2}{121 \ \mathrm {Ω}}=400\ \mathrm {W}.$
$(2) $当控制电路电流$I=800\ \mathrm {mA}=0.8\ \mathrm {A}$时，控制电路的总电阻为$R_{F}+R_{0} =\frac {U_{控}}I= \frac {12\ \mathrm {V}}{0.8\ \mathrm {A}}=15 \ \mathrm {Ω}$，此时力敏电阻$I $的阻值$R_{F}=15 \ \mathrm {Ω}-5 \ \mathrm {Ω}=10 \ \mathrm {Ω}$，当控制电路电流$I_{1}=600\ \mathrm {mA}=0.6\ \mathrm {A}$时，防干烧功能启动，此时$U $控控制电路的总电阻为$R_{F1}+R_{0}=\frac {U_{控}}{I_{1}}=\frac {12\ \mathrm {V}}{0.6\ \mathrm {A}}=20 \ \mathrm {Ω}$，此时力敏电阻的阻值$R_{F1}=20 \ \mathrm {Ω}-5 \ \mathrm {Ω}=15 \ \mathrm {Ω}$，所以力敏电阻的阻值变化量$ ∆R_{F1}=15 \ \mathrm {Ω}-10 \ \mathrm {Ω}=5 \ \mathrm {Ω}$，由题意知，力敏电阻所受的压力每增加$1.5\ \mathrm {N}$电阻减小$5 \ \mathrm {Ω}$，则压力的变化量为$∆F_{压1}=1.5\ \mathrm {N}$，浮力变化量等于压力变化量，即$∆F_{浮1}=∆F_{压1}=1.5\ \mathrm {N}$，所以浮体$A$排开水的体积变化量$∆V_{排1}=\frac {∆F_{浮1}}{ρ_{水}g}=\frac {1.5\ \mathrm {N}}{1×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}}=1.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}$，故浮体$A$浸入水中的深度变化量$∆h_{1}=\frac {V_{排1}}{S}=\frac {1.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}}{50×10^{-4}\ \mathrm {m^2}}=0.03\ \mathrm {m}=3\ \mathrm {cm}$，故干烧时水面距离$A$底部$h_{1}=7\ \mathrm {cm}-3\ \mathrm {cm}=4\ \mathrm {cm}$，即防干烧的水位位置在距$A$的底部$4\ \mathrm {cm} $处$.$
