解：$(1)$把$△CFD$绕点$D$逆时针旋转$180°$得到$△BGD$，连接$EG$
则$△CFD≌△BGD$
∴$CF=BG$，$DF=DG$
∵$DE⊥DF$，∴$EG=EF$
在$△BEG $中，$BE+BG>EG$，∴$BE+CF>EF$
$(2) $线段$BE$、$CF $和$EF $之间的等量关系是$BE²+CF²=EF²$，
证明如下：如图②，连接$EG$
同$(1)$得$△CFD≌△BGD$
∴$∠C=∠GBD$，$DF=DG$，$CF=BG$，即$AC//BG$
∴$∠A+ ∠EBG=180°$
又$∠A=90°$，∴$∠EBG=180°-∠A=90°$
又$DE⊥DF$，∴$EG=EF$
在$Rt△EBG $中，由勾股定理，得$BE²+BG²=EG²$
∴$BE²+CF²=EF²$
即线段$BE$、$CF $和$EF $之间的等量关系是$BE²+CF²=EF²$
