$(1)$证明：∵四边形$ABCD$为平行四边形，∴$OD=OB$，$OA=OC$
∵$DE=BF$，∴$OD+DE=OB+BF$，即$OE=OF$
∴四边形$AFCE$为平行四边形
$(2)$解：∵$AC $平分$∠EAF$，∴$∠EAC= ∠FAC$
∵由$(1)$得四边形$AFCE$为平行四边形，$OA=4$
∴$AE=CF$，$AF=CE$，$CE//AF$，$OC=OA=4$
∴$∠ECA =∠FAC$，$AC=8$，即$∠EAC=∠ECA$
∴$AE=CE$
∵$∠AEC=60°$，∴$△EAC$是等边三角形
∴$AE=CE=AC=8$，即$ AE=CE=AF=CF=8$
∴$AF+CF+CE+AE=4AE=32$
即四边形$AFCE$的周长是$32$
$(3)$解：若$ DE=\frac {1}{3}\ \mathrm {OD}$，$BF=\frac {1}{3}\ \mathrm {OB}$，则四边形$AFCE$是平行四边形，
理由如下：由$(1)$得$OA=OC$，$OB=OD$
∵$DE=\frac {1}{3}OD$，$BF=\frac {1}{3}OB$，∴$DE=BF$
∴$OB+BF=OD+DE$，即$OF=OE$
∴四边形$AFCE$是平行四边形
若$DE=\frac {1}{n}OD$，$BF=\frac {1}{n}OB$，则四边形$AFCE$是平行四边形
理由如下：由$(1)$得$OA=OC$，$OB=OD$
∵$DE=\frac {1}{n}OD$，$BF=\frac 1{n}OB$，∴$DE=BF$
∴$DE+OD=BF+OB$，即$OF=OE$
∴四边形$AFCE$是平行四边形
