解：任务$2$：$(1)$如图所示
$(2)$四边形$BGDH$是菱形，理由如下：
∵四边形$ABCD $是矩形，∴$AD//BC$，即$∠ADB=∠CBD$
由$(1)$得$GH$垂直平分$BD$，∴$BG=DG$，$∠BOG = ∠BOH = 90°$，$OB =OD$，即$∠ADB=∠DBG$
∴$∠DBG=∠CBD$
又$OB=OB$，∴$△BOG≌△BOH(\mathrm {ASA})$
∴$OG=OH$，即$BD$，$GH$互相平分，且$BD⊥GH$
∴四边形$BGDH$是菱形$ $
任务$3$：理由如下：∵四边形$ABCD$是矩形
∴$∠A =∠ABC=90°$，$AD//BC$，即$∠APB =∠PBC$
由题意得$AM=BM=\frac {1}{2}AB$，$MN⊥AB$，∴$∠ABQ+∠BQM=90°$
由折叠的性质，得$BQ=AB$，$∠ABP=∠PBQ=\frac {1}{2}∠ABQ$，$∠APB=∠BPQ$
∴$BM=\frac {1}{2}BQ$，即$∠BQM=30°$
∴$∠ABQ=60°$，即$∠ABP =30°$
∴$∠PBC=∠ABC-∠ABP=60°$，即$∠BPQ=∠APB =60°$
∵$∠BPQ+∠APB+∠DPQ= 180°$
∴$∠DPQ = 180° - ∠APB - ∠BPQ = 60°$，即$∠DPQ=∠BPQ$
∴点$B $的对应点$B'$恰好落在射线$AD$上
任务$4$：由题意，得$AD=BC=8$，$M'N'//MN// AD$，$AM'//DN'$
∴四边形$AM'N'D$是平行四边$ $形，即$M'N'=AD=8$
∴$M'G+QN'=M'N'- GQ= 8-GQ$
由折叠的性质，得$ AP = PQ$，$∠APB=∠BPQ$
∵$ AD//M'N'$，∴$∠APB= ∠PGQ$，即$∠PGQ=∠BPQ$
∴$PQ=GQ$
∵$P $是$AD$的中点，∴$AP=\frac {1}{2}AD=4$，即$GQ=PQ= 4$
∴$M'G+QN'=4$
