解：$(1)$∵矩形$ADOG$、矩形$ BEOH $和矩形$ CFOI $的面积相等，且$OG=GH=HI$
∴$S_{1}=S_{2}+S_{3}$，$2S_{2}=S_{3}$
∵$S_{2}=6\ \mathrm {m}²$，∴$S_{3}=12m²$，$S_{1}=18m²$
$(2)$由弯道$MN$上任意一点到两围墙的垂线段与围墙所围成的矩形的面积都相等
得$xy= S_{1}+S_{2}+S_{3}$
由$(1)$，得$S_{1}=18m²$，$S_{3}=12m²$，且$S_{2}=6m²$
∴$xy=36$，即$y=\frac {36}{x}$
∴$y$关于$x$的函数表达式为$y=\frac {36}{x}$
$(3)$由题意，得$M$，$N$两点的横、纵坐标都满足$ y=\frac {36}{x}$
∵$MP=2m$，$NQ=3m$，∴点$M$的坐标为$(2$，$18)$，点$ N $的坐标为$(12$，$3)$
∴点$Q $的坐标为$(12$，$0)$
把$x=2$，$4$，$6$，$8$，$10$分别代入$y=\frac {36}{x}$中，得$y=18$，$9$，$6$，$4.5$，$3.6$
∴种植花木的位置可以为$(2$，$2)$，$(2$，$4)$，$(2$，$6)$，$(2$，$8)$，$(2$，$10)$，$(2$，$12)$，
$(2$，$14)$，$(2$，$16)$；$(4$，$2)$，$(4$，$4)$，$(4$，$6)$，$(4$，$8)$；$(6$，$2)$，$(6$，$4)$；
$(8$，$2)$，$(8$，$4)$；$(10$，$2)$
∴该区域一共能种植$17$棵花木
