解：点$ B $在该双曲线上：理由如下：
把$ P(-8$，$-2)$代入$y=\frac {k}{x}$中，
得$-2=\frac {k}{-8}$，解得$k=16$
∴反比例函数的表达式为$y=\frac {16}{x}$
∵点$C(4$，$m)$在双曲线$ y=\frac {16}{x}$上
∴$m=\frac {16}{4}=4$
连接$AC$，$BD $交于点$ H$
把$ C(4$，$4)$，$P(-8$，$-2)$分别代入$ y=ax+b $中
得$\begin {cases}{4=4a+b}\\{ -2=-8a+b}\end {cases}$，解得$\begin {cases}{a=\frac {1}{2} }\\{b=2}\end {cases}$
∴直线$CD $的函数表达式是$y=\frac {1}{2}x+2$
在$y=\frac {1}{2}x+2$中，令$x=0$，得$y=2$
∴点$D$的坐标为$(0$，$2)$
∵四边形$ABCD$是菱形，
且点$A $的坐标为$(4$，$0)$，点$C$的坐标为$(4$，$4)$
∴$AC//y$轴，$H$是$AC$，$BD $的中点，
即点$ H $的坐标为$(4$，$2)$
∴点$B$的坐标为$(8$，$2)$
在$y=\frac {16}{x}$中，令$x=8$，得$y=2$
∴点$B$在双曲线$y=\frac {16}{x}$上
