证明：$(1)$∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$AB=CD$，$AD=BC$，$AB//CD$，$AD//BC$，$∠ABM=∠CDN$
∵$BM=DN$
∴$△ABM≌△CDN(\mathrm {SAS})$，∴$AM=CN$
$(2)$由$(1)$，得$AB//CD$，$AD//BC$，$AB=CD$，
$AD=BC$，$△ABM≌△CDN$
∴$∠AMB=∠CND$，$∠CND=∠BCN$，$∠ADB=∠CBD$，
$∠BAM= ∠DCN$，$∠ABE = ∠CDF$，
即$∠AMB = ∠BCN$，$△ABE ≌ △CDF(\mathrm {ASA})$
∴$AM//CN$，$AE=CF$，即四边形$AECF $是平行四边形
∵$AB=AD$
∴$AB=BC$，$∠ABD = ∠ADB$，即$ ∠ABD =∠CBD$
∵$BE=BE$，∴$△ABE≌△CBE(\mathrm {SAS})$，∴$AE=CE$
∴四边形$AECF $是菱形
