第18页 - 亮点给力提优课时作业本八年级数学江苏版

解：$(2)①$过点$A$作$AC⊥x$轴于点$C$，过点$B$作$ BD⊥x$轴于点$D$

∴$∠ACP=∠PDB=90°$，∴$∠APC+∠PAC=90°$

∵点$A$的坐标为$(2$，$m)$，点$B$的坐标为$(6$，$n)$

∴$OC=2$，$OD=6$，$AC=m$，$BD=n$

由旋转的性质，得$AP=PB$，$∠APB =90°$，∴$∠APC+∠BPD=180°-∠APB=90°$

∴$∠PAC=∠BPD$，∴$△APC≌△PBD(\mathrm {AAS})$

∴$PC=BD=n$，$PD=AC=m$

∴$OD=OC+PC+PD=m+n+2=6$，∴$m+n=4$

由$(1)$，得$m=3n$，∴$3n+n=4$，解得$n=1$，即$m=3$

∴点$A$的坐标为$(2$，$3)$，点$B$的坐标为$(6$，$1)$，$PC=1$

∴$OP=OC+PC=3$，∴点$P $的坐标为$(3$，$0)$

把$B(6$，$1)$代入$y=\frac {k}{x}$中，得$1=\frac {k}{6}$，解得$k=6$

∴反比例函数的表达式为$y=\frac {6}{x}(x＞0)$

$(3)$存在，点$M$的坐标为$(8$，$\frac {3}{4})$或$(4$，$\frac {3}{2})$

解：$(1)①$∵四边形$ABCD$是正方形，∴$BA=BC$，$∠ABP=∠CBP$

由旋转的性质，得$BA'=BA$，$BP'=BP$，$∠A'BP'=∠ABP$

∴$BA'=BC$，$∠A'BP'=∠CBP$

∴$∠A'BP'-∠A'BC=∠CBP-∠A'BC$，即$∠CBP'=∠A'BP$

∴$△BPA'≌△BP'C(\mathrm {SAS})$

$②$连接$PP'$

由题意及$(1)①$，得$BA'=BA=BC$，$P'A'=PA$，$BA=PA$，∴$BA'=P'A'$

∵$∠ABC=90°$，$∠ABA'=60°$，∴$∠A'BC=∠ABC-∠ABA'=30°$

∴$∠BA'C=∠BCA'=\frac {1}{2}(180°-∠A'BC)=75°$

∵$BP'=BP$，$∠P'BP=60°$，∴$△BP'P $是等边三角形，∴$∠BPP'=60°$，$BP=P'P$

∵$PA'=PA'$，∴$△BPA'≌△P'PA'(\mathrm {SSS})$，∴$∠BPA'=∠P'PA'$

∴$∠BPA'=\frac {1}{2}∠BPP'=30°$

∵$∠BPC=45°$，∴$∠A'PC=∠BPC-∠BPA'=15°$

∵$∠BCP=90°$，∴$∠A'CP=∠BCP -∠BCA'=15°$

∴$∠A'PC=∠A'CP$，∴$A'P=A'C$

由$(1)①$，得$△BPA'≌△BP'C$，∴$A'P=CP'$

∴$A'C=CP'$，∴$△A'P'C$是等腰三角形

$(2)①$如图所示

$②$由题意得点$A'$在线段$BD$上，$A'P'=AP$，$BA'=BA=BC=\sqrt {2}$，$∠BA'P'=∠BAP=90°$

过点$C$作$CE⊥BD$于点$E$，则$△BCE$是等腰直角三角形

∴$BE=CE=\frac {2}{2}BC=1$

显然$∠CA'P＜∠BA'P'=90°$

∴当$△A'P'C$是直角三角形时，分类讨论如下：

若$∠A'P'C=90°$，则四边形$A'P'CE$是矩形

∴$AP=A'P'=CE=1$；

若$∠A'CP'=90°$，过点$C$作$CF⊥A'P'$于点$F$，则四边形$A'ECF $是矩形

∴$A'F=CE=1$，$CF=A'E=BA'-BE=\sqrt {2}-1$

设$AP=A'P'=x$，则$P'F=A'P'-A'F=x-1$

∵$A'F²+CF²=A'C²$，$P'F²+CF²=P'C²$，$A'C²+P'C²=A'P'²$

∴$A'F²+CF²+P'F²+CF²=A'P'²$

∴$1²+(\sqrt {2}-1)²+(x-1)²+(\sqrt {2}-1)²=x²$

解得$x=4-2\sqrt {2}$，∴$AP=4-2\sqrt {2}$

综上，$AP $的长为$1$或$4-2\sqrt {2}$