第20页 - 亮点给力提优课时作业本八年级数学江苏版

(8，3)

(4，6)

解：$(2)①$由$(1)$得点$D$的坐标为$(8$，$3)$，点$E$的坐标为$(4$，$6)$，

且$A(8$，$0)$，$B(0$，$6)$是矩形$OACB$的两个顶点

∴$∠OAC=∠OBC=∠ACB=90°$，$BC=OA=8$，$AC=OB=6$，$AD=3$，$BE=4$

∴$CD=AC-AD=3$，$CE=BC-BE=4$

∴$S_{△OAD}=\frac {1}{2}OA · AD=12$，$S_{△OBE}=\frac {1}{2}OB · BE=12$，

$S_{△CDE}=\frac {1}{2}CD · CE=6$，$S_{矩形OACB}=OA · OB=48$

∴$S_{△ODE}=S_{矩形OACB}-S_{△OAD}-S_{△OBE}-S_{△CDE}=18$

∵$S_{△OPB}=\frac {1}{2}S_{△ODE}$，∴$S_{△OPB}=9$

过点$P $作$PF⊥y$轴于点$F$，则$S_{△OPB}=\frac {1}{2}OB · PF=3PF=9$，解得$PF=3$

∵点$P $在第一象限内，∴点$P $的横坐标为$3$

∵点$D$在双曲线上，∴$k=24$，即双曲线的函数表达式为$y=\frac {24}{x}(x＞0)$

∵点$P $在双曲线上，∴点$P $的坐标为$(3$，$8)$

$②$点$Q $的坐标为$(13$，$3)$或$(3$，$\sqrt {11})$或$(3$，$- \sqrt {11})$或$(3$，$6+ \sqrt {11})$

$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是正方形，∴$AB= AD$，$∠B=∠D=90°$

由折叠的性质，得$AF=AD$，$∠AFE=∠D=90°$

∴$AB=AF$，$∠AFG=180°-∠AFE=90°$

∵$AG=AG$，∴$Rt△ABG≌Rt△AFG(\mathrm {HL})$

解：$(2)$∵四边形$ABCD$是正方形，$CD=6$

∴$BC=CD=6$，$∠BCD=90°$

∵$CD=3DE$，∴$DE=\frac {1}{3}\ \mathrm {CD}=2$，∴$CE=CD-DE=4$

由折叠的性质，得$EF=DE=2$

由$(1)$，得$△ABG≌△AFG$，∴$BG=FG$

设$BG=FG=x$，则$CG=BC-BG=6-x$，$EG=EF+FG=2+x$

在$Rt△CEG $中，由勾股定理，得$CE²+ CG²=EG²$

∴$4²+(6-x)²=(2+x)²$，解得$x=3$，∴$CG=3$

$(3)$由$(2)$得$CG=3$，$CE=4$，$EF=2$，$∠ECG= 90°$，则$EG=5$，$FG=3$

∴$S_{△CEG}=\frac {1}{2}CG · CE=6$

∴$S_{△CFG}=\frac {3}{5}S_{△CEG}=\frac {18}{5}$

则$△CFG $的面积为$\frac {18}{5}$

$(4)△CEF $周长的最小值为$6 \sqrt {2}$