$(1)$证明：∵四边形$ABCO$是平行四边形
∴$AB=OC$，$AB//CF$，∴$∠OAB=∠AOF$
∵由旋转的性质，得$AD=AB$，$AF=AO$，$∠OAF=∠OAB$
∴$∠OAF=∠AOF$，∴$OF=AF$，即$OF=AF=AO$
∴$△AOF $是等边三角形，∴$∠AOF=60°$
过点$A$作$AG⊥x$轴于点$G$，则$∠AGO=90°$
∵点$C$的坐标为$(-4$，$0)$，∴$AD=AB=OC=4$
由对称性，得$OA=OD=\frac {1}{2}AD=2$
∵$∠OAG=90°-∠AOF=30°$，∴$OG=\frac {1}{2}OA=1$
在$Rt△OAG $中，由勾股定理，得$AG= \sqrt {OA²-OG²}=\sqrt {3}$
∴点$A$的坐标为$(1$，$\sqrt {3})$
∵点$A$在反比例函数$y=\frac {k}{x}$的图像上
∴把$A(1$，$\sqrt {3})$代入$y=\frac {k}{x}$中，得$k=\sqrt {3}$，则$k$的值为$\sqrt {3}$
$(2)$解：$y_{1}＜y_{2}$，理由如下：
由题意，把$P(x_{1}$，$a)$，$Q(x_{2}$，$b)$分别代入$y=\frac {k}{x}$中
得$a=\frac {k}{x_{1}}$，$b=\frac {k}{x_{2}}$
∵$m= \sqrt {\frac {a+b}{2k}}$
∴$\mathrm {m^2}=\frac {a+b}{2k} =\frac {\frac {k}{x_{1}}+\frac {k}{x_{2}}}{2k}=\frac {x_{1}+x_{2}}{2x_{1}x_{2}}$
∵$n= \sqrt {\frac {2}{x_{1}+x_{2}}}$，∴$n^2=\frac {2}{x_{1}+x_{2}}$
∴$\mathrm {m^2} -n^2 =\frac {x_{1}+x_{2}}{2x_{1}x_{2}}-\frac 2{x_{1}+x_{2}}=\frac {(x_{1}-x_{2})^2}{2x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})}$
∵$x_{2}＞x_{1}＞0$，∴$m²-n²＞0$，即$m＞n＞0$
∵当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，∴$y_{1}＜y_{2}$
