解：$(2)① $如图所示
∵$EF//AB$，∴$∠EFP= ∠BPF$
由折叠的性质，得$EP=BP$，$EF=BF$，$∠EPF=∠BPF$
∴$∠EPF=∠EFP$，∴$EP=EF$，∴$BP=EP=EF=BF$
∴四边形$PBFE$是菱形$ $
②∵四边形$ABCD $是矩形，∴$∠A=∠ABC=90°$
∵$EF//AB$，∴$∠EGQ=∠ABC=90°$，$∠A+∠AEG=180°$
∴$∠AEG=180°-∠A=90°$
∴四边形$ABGE$是矩形
∵$AB=6$，$AE=3$，∴$EG=AB=6$，$BG=AE=3$
设$BP=EP=x$，则$AP=AB-BP=6-x$
在$Rt△APE$中，由勾股定理，得$AP²+AE²=EP²$
∴$(6-x)²+3²=x²$，解得$x=\frac {15}{4}$
∴$BP=\frac {15}{4}$
由折叠的性质，得$BQ=EQ$
设$BQ=EQ=y$，则$GQ=BQ-BG=y-3$
∵$EG²+GQ²=EQ²$，∴$6²+(y-3)²=y²$，解得$y=\frac {15}{2}$
∴$BQ=\frac {15}{2}$
∴在$Rt△BPQ $中，由勾股定理，得$PQ=\sqrt {BP^2+BQ^2}=\frac {15\sqrt {5}}{4}$
$(3)$∵四边形$ABCD$是矩形，∴$CD=AB= 6$，$∠C=90°$
由折叠的性质，得$∠PQE=∠PQB$，$EQ=BQ$
设$EQ=BQ=m$
∵$BC=10$，∴$CQ=BC-BQ=10-m$
当$△DEQ $是以$DQ $为腰的等腰三角形时，分类讨论如下：
若$DQ=EQ=m$
∵$CD²+CQ²=DQ²$，∴$6²+(10-m)²=m²$，解得$m=\frac {34}{5}$
∴$BQ=\frac {34}{5}$
若$DQ=DE$，过点$D$作$DM⊥EQ $于点$M$
则$∠DMQ=90°$，$ME=MQ=\frac {1}{2}\ \mathrm {EQ}=\frac {1}{2}\ \mathrm {m}$
∴$∠DMQ=∠C$
∵$DQ⊥PQ$，∴$∠DQP=90°$
∴$∠DQM+∠PQM= 90°$，$∠DQC +∠PQB = 180°-∠DQP=90°$
∴$∠DQM=∠DQC$
∵$DQ=DQ$，∴$△DMQ≌△DCQ(\mathrm {AAS})$
∴$MQ=CQ=10-m$，∴$\frac {1}{2}m=10-m$，解得$m=\frac {20}{3}$，∴$BQ=\frac {20}{3}$
综上，$BQ $的长为$\frac {34}{5}$或$\frac {20}{3}$
