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$解： (1)把A(4 ， 0)代入二次函数,得16(k-1)+4(2+4k)+1-4k=0$

$得k=\frac {1}{4}$

$(2)y=-\frac {3}{4}x²+3x= -\frac {3}{4}(x-2)²+3 .$

$所以B(2 ， 3)$

$A点关于y轴的对称点坐标是(-4 ， 0)$

$设过(-4， 0) ， (2 ， 3)两点的直线为y=mx+n，$

$\begin{cases}{-4m+n=0 }\\{2m+n=3} \end{cases}$

$解得m=\frac {1}{2}，n=2$

$所以该直线为y=\frac {1}{2}x+2$

$所以P点的坐标是(0 ， 2)$

$解：(1)设OD=x，则AD=CD=8-x$

$在Rt\triangle OCD中，由勾股定理得$

$C{D}^2=O{D}^2+O{C}^2，即{(8-x)}^2={x}^2+{4}^2$

$解得x=3$

$∴OD=3$

$∴D(3，0)$

$∵OA=8，OC=4$

$∴B(8，-4)，C(0，-4)且抛物线过B，C点$

$∴抛物线的对称轴为x=4$

$∵D(3，0)$

$∴另一个交点E(5，0).$

$(2)不存在这样的点P，理由如下：$

${S}_{矩形OABC}=OA·OB=32$

$若存在这样的点P，设点P到BC的距离为h$

$则{S}_{△PBC}=\frac {1}{2}BC·h=32$

$∴h=8$

$设抛物线的解析式为y=a{x}^2+bx+c$

$∵抛物线过B(8，-4)，C(0，-4)，D(3，0)$

$∴\{\begin{array}{l}-4=64a+8b+c\\-4=c\\0=9a+3b+c\end{array}.$

$解得\{\begin{array}{l}a=-\frac {4}{15}\\b=\frac {32}{15}\\c=-4\end{array}.$

$∴抛物线解析式为y=-\frac {4}{15}{x}^2+\frac {32}{15}x-4=-\frac {4}{15}{(x-4)}^2+\frac {4}{15}$

$∴p抛物线的顶点为(4，\frac {4}{15})$

$∴顶点到BC的距离为4+\frac {4}{15}=\frac {64}{15}\lt 8$

$∴不存在这样的点P，使\triangle PBC的面积等于矩形OABC的面积.$