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$解：(1)把B(4， 8)代入y= kx+4，得k= 1$

$所以一次函数是y=x+4$

$当x=1时，y=1+4=5 ，$

$所以A(1，5)$

$把A(1 ，5)、B(4， 8)、O(0 ， 0)代入y=ax²+ bx+c，$

$得\begin{cases}{a+b+c=5 }\\{16a+4b+c=8} \\{c=0} \end{cases}$

$解得a=-1，b=6，c=0$

$所以二次函数是y=-x²+ 6x，$

$(2)因为B(4，8)， S_{△OCD}= \frac {3}{2}S_{△OCB}$

$所以D点的纵坐标是12$

$当y=12时，-x²+6x=12，方程无解$

$所以D点不存在$

$解：(1)OC=OA=c，OD=OB=1，CD=c-1$

$所以S_{△ACD}=\frac {1}{2}c(c-1)=3，$

$解得c= 3或c= -2(舍去)$

$所以A(-3，0)、 C(0 ， 3)$

$把A(-3，0)、B(1 ， 0)代入y=ax²+bx+3，$

$得\begin{cases}{9a-3b+3=0 } \ {a+b+3=0} \end{cases}$

$解得a=-1，b=-2$

$所以y=-x²-2x+3$

$(2)y=-(x+1)²+4$

$所以M(-1 ， 4)$

$A关于y轴对称点A'的坐标是(3 ， 0)$

$由A'(3 ， 0)、M(-1 ， 4)得直线MA' ： y=-x+3$

$所以P点坐标是(0 ，3)$

$(3)因为△AMN是直角三角形，$

$若5点共圆，圆心必在AM的中点$

$设该点为G ，则坐标是(-2 ， 2)$

$GA=\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}$

$GC=\sqrt{2²+1²}=\sqrt{5}， GD=\sqrt{1²+2²}=\sqrt{5}$

$所以C、D也在△AMN的外接圆圆G上$

$所以这5个点在同一一个圆上，圆心坐标是(-2 ， 2)$