解：$(1)$铝块的体积$V_{铝}=\frac {m_{铝}}{ρ_{铝}}=\frac {0.81\ \mathrm {kg}}{2.7×10^3\ \mathrm {kg/m}^3}=3×10^{-4}\ \mathrm {m^3}，$$V_{排}=\frac 12\ \mathrm {V}_{铝}=\frac 12×3×10^{-4}\ \mathrm {m^3}=1.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}，$$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×1.5×10^{-4}\ \mathrm {m^3}=1.5\ \mathrm {N}$
$(2)$铝块浸没在煤油中时排开煤油的体积$V_{排}'=V_{铝}=3×10^{-4}\ \mathrm {m^3}，$铝块受到的浮力$F_{浮}'=ρ_{煤油}gV_{排}'= 0.8×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×3×10^{-4}\ \mathrm {m^3}=2.4\ \mathrm {N}，$铝块的重力$ G_{铝}=m_{铝}g=0.81\ \mathrm {kg}×10\ \mathrm {N/kg}=8.1\ \mathrm {N}，$弹簧测力计的示数$F= G_{铝}−F_{浮}'=8.1\ \mathrm {N}−2.4\ \mathrm {N}=5.7\ \mathrm {N}$
