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解：​$(1)$​水箱内无水时，圆柱体对水箱底部的压力​$F=G=12\ \mathrm {N}，$​则圆柱体对水箱底部的压强​$p=\frac {F}{S}=\frac {12\ \mathrm {N}}{1×10^{-2}\ \mathrm {m^2}}=1200\ \mathrm {Pa}$​

​$(2)$​根据物体的浮沉条件可知，当圆柱体刚好浮起时受到的浮力​$F_{浮}=G=12\ \mathrm {N}，$​由阿基米德原理​$F_{浮}=ρ_{液}gV_{排}$​可知，圆柱体浸入水中的体积​$V_{浸}=V_{排}=\frac {F_{浮}}{ρ_{水}g}=\frac {12\ \mathrm {N}}{1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}}=1.2×10^{-3}\ \mathrm {m^3}$​

​$(3)$​停止注水时，圆柱体受到竖直向上的浮力、竖直向下的重力以及传感器底端​$P $​对圆柱体​$20\ \mathrm {N}$​的竖直向下的压力，根据力的平衡条件可知，此时圆柱体受到的浮力​$F_{浮}'=G+F_{P}=12\ \mathrm {N}+20\ \mathrm {N}=32\ \mathrm {N}，$​​$ $​由​$F_{浮}=ρ_{液}gV_{排}$​可得，圆柱体浸入水中的体积​$V_{排}'=\frac {F_{浮}'}{ρ_{水}g}=\frac {32\ \mathrm {N}}{1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}}=3.2×10^{-3}\ \mathrm {m^3}$​

解：​$(1)$​正方体木块的体积​$V=(0.1\ \mathrm {m})^3=10^{-3}\ \mathrm {m^3}，$​因为木块静止时有​$\frac 35$​的体积浸入水中，所以​$V_{排}=\frac 35\ \mathrm {V}=\frac 35×10^{-3}\ \mathrm {m^3}=6×10^{-4}\ \mathrm {m^3}，$​图甲中木块受到的浮力​$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×6×10^{-4}\ \mathrm {m^3}=6\ \mathrm {N}$​

​$(2)$​因为图甲中的木块是漂浮的，所以，木块的重力​$G=F_{浮}=6\ \mathrm {N}，$​木块的质量​$m=\frac {G}{g}=\frac {6\ \mathrm {N}}{10\ \mathrm {N/kg}}=0.6\ \mathrm {kg}，$​木块的密度​$ρ=\frac {m}{V}=\frac {0.6\ \mathrm {kg}}{10^{-3}\ \mathrm {m^3}}=0.6×10^3\ \mathrm {kg/m}^3$​

​$(3)$​小柱体的重力​$G_{柱}=∆F_{浮}=ρ_{水}g∆V_{排}=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×(1−\frac 35)×10^{-3}\ \mathrm {m^3}=4\ \mathrm {N}，$​小柱体对木块的压力​$F=G_{柱}=4\ \mathrm {N}，$​小柱体的底面积​$S=\frac {F}{p}=\frac {4\ \mathrm {N}}{2000\ \mathrm {Pa}}=2×10^{-3}\ \mathrm {m^2}$​