解：$(1)$由题意可得，因为$ρ_{甲}∶ρ_{乙}=3∶5。$所以乙的密度$ρ_{乙}=\frac 53ρ_{甲}=\frac 53×0.6\ \mathrm {g/cm}^3=1.0\ \mathrm {g/cm}^3，$乙的底面积$S_{乙}=2S_{甲}=2×100\ \mathrm {cm}^2=200\ \mathrm {cm}^2，$则乙的体积$V_{乙}=S_{乙}h_{乙}=200\ \mathrm {cm}^2×12\ \mathrm {cm}=2400\ \mathrm {cm}^3，$由$ρ=\frac {m}{V}$可得，乙的质量$m_{乙}=ρ_{乙}V_{乙}=1.0\ \mathrm {g/cm}^3×2400\ \mathrm {cm}^3=2400\ \mathrm {g}=2.4\ \mathrm {kg}$
$(2)$甲的体积$V_{甲}=S_{甲}h_{甲}=100\ \mathrm {cm}^2×15\ \mathrm {cm}=1500\ \mathrm {cm}^3，$由$ρ=\frac {m}{V}$可得，甲的质量$m_{甲}=ρ_{甲}V_{甲}=0.6\ \mathrm {g/cm}^3×1500\ \mathrm {cm}^3=900\ \mathrm {g}=0.9\ \mathrm {kg}；$现将甲物块叠放在乙物块上方，对地面的压力$F=G_{总}=(m_{甲}+m_{乙})g=(2.4\ \mathrm {kg}+0.9\ \mathrm {kg})×10\ \mathrm {N/kg}=33\ \mathrm {N}，$乙物块对水平地面的压强$p=\frac {F}{S}=\frac {33\ \mathrm {N}}{200×10×10^{-4}\ \mathrm {m^2}}=1650\ \mathrm {Pa}$
$(3)$根据规则柱体对水平地面的压强$p=\frac {F}{S}=\frac {G}{S}=\frac {mg}{S}=\frac {ρVg}{S}=\frac {ρShg}{S}=ρgh $得甲、乙物块对水平地面的压强分别为$p_{甲}=ρ_{甲}gh_{甲}=0.6×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×15×10^{-2}\ \mathrm {m}=900\ \mathrm {Pa}，$$p_{乙}=ρ_{乙}gh_{乙}=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×12×10^{-2}\ \mathrm {m}=1200\ \mathrm {Pa}，$因为$p_{甲}＜p_{乙}，$所以将乙物块沿水平方向切下一部分，切下的部分放在甲物块上，有可能使得此时甲、乙物块对水平面的压强相等；将乙物块沿水平方向切下高度为$h'$的部分，切下的部分放在甲物块上，则切去部分的重力$∆G_{乙}=∆m_{乙}g=ρ_{乙}∆V_{乙}g=ρ_{乙}S_{乙}h'g，$此时甲物块对水平面上的压力$F_{甲}=G_{甲}+∆G_{乙}=ρ_{甲}S_{甲}h_{甲}g+ρ_{乙}S_{乙}h'g，$此时甲物块对水平面的压强$ p_{甲}'=\frac {F_{甲}}{S_{甲}}=\frac {ρ_{甲}S_{甲}gh_{甲}+ρ_{乙}gh'S_{乙}}{S_{甲}}=ρ_{甲}gh_{甲} +\frac {S_{乙}}{S_{甲}}ρ_{乙}gh'=\frac 35ρ_{乙}gh_{甲}+2ρ_{乙}gh'，$此时乙物块对水平面的压强$p_{乙}'=ρ_{乙}\ \mathrm {g}(h_{乙}−h')，$因此时甲、乙物块对水平面的压强相等，则有$\frac 35ρ_{乙}gh_{甲}+2ρ_{乙}gh'=ρ_{乙}g(h_{乙}−h')，$解得：$h'=\frac 13h_{乙}−\frac 15h_{甲}=\frac 13×12\ \mathrm {cm}−\frac 15×15\ \mathrm {cm}=4\ \mathrm {cm}−3\ \mathrm {cm}=1\ \mathrm {cm}$
