解：$(1)$由图甲可知，塑料小瓶漂浮时，塑料小瓶排开水的体积$V_{排}=\frac 14\ \mathrm {V}=\frac 14×20\ \mathrm {cm}^3=5\ \mathrm {cm}^3=5×10^{-6}\ \mathrm {m^3}，$所受浮力$F_{浮}=ρ_{水}gV_{排}=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×5×10^{-6}\ \mathrm {m^3}=0.05\ \mathrm {N}$
$(2)$塑料小瓶漂浮时，由物体的漂浮条件可知，塑料小瓶的重力$G=F_{浮}=0.05\ \mathrm {N}；$图乙中塑料小瓶悬浮，则塑料小瓶排开水的体积$V_{排}'=V=20\ \mathrm {cm}^3=2×10^{-5}\ \mathrm {m^3}，$则受到的浮力$F_{浮}'=ρ_{水}gV_{排}'=1.0×10^3\ \mathrm {kg/m}^3×10\ \mathrm {N/kg}×2×10^{-5}\ \mathrm {m^3}=0.2\ \mathrm {N}，$由物体的悬浮条件可知，$F_{浮}'=G+G_{铁}，$则$G_{铁}=F_{浮}'-G=0.2\ \mathrm {N}−0.05\ \mathrm {N}=0.15\ \mathrm {N}；$铁钉质量$m_{铁}=\frac {G_{铁}}{g}=\frac {0.15\ \mathrm {N}}{10\ \mathrm {N/kg}}=0.015\ \mathrm {kg}=15\ \mathrm {g}$
