第27页 - 同步练习九年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

$解：B为线段AF的黄金分割点，C为线段DG的黄金分割点，$

$矩形AFGD和矩形CBFG都是黄金矩形，证明如下：$

$设正方形ABCD的边长为a，则AB=BC=a$

$∵点E是AB的中点$

$∴BE=\frac 12AB=\frac {a}2$

$在Rt△BCE中，∵BE=\frac {a}2，BC=a$

$∴CE=\sqrt {BE^2+BC^2}=\frac {\sqrt 5}2a$

$∴EF=\frac {\sqrt 5}2a，AF=\frac {\sqrt 5+1}2a，BF=\frac {\sqrt 5-1}2a$

$∴\frac {AB}{AF}=\frac a{\frac {\sqrt 5+1}2a}=\frac {\sqrt 5-1}2≈0.618$

$∴点B是线段AF的黄金分割点$

$∵\frac {DC}{DG}=\frac {AB}{AF}≈0.618$

$∴点C是线段DG的黄金分割点$

$∵\frac {AD}{AF}=\frac {AB}{AF}≈0.618，\frac {BF}{BC}=\frac {\frac {\sqrt 5-1}2a}{a}=\frac {\sqrt 5-1}2≈0.618$

$∴矩形AFGD和矩形CBFG都是黄金矩形$

$解：(1)如图所示$

$(2)\ \mathrm {CM}=AB，理由如下：$

$连接MA$

$∵∠BAC=36°，AB=AC$

$∴∠ABC=∠ACB=72°$

$∵BF 平分∠ABC$

$∴∠l=∠2=36°$

$∵∠1=∠BAC$

$∴BF=AF，△ABF 为等腰三角形$

$∵E是AB中点$

$∴FE⊥AB$

$∴ME是AB的垂直平分线$

$∴MA =MB$

$∴∠MAB=∠MBA=72°$

$∵∠BAC=36°$

$∴∠MAC=36°$

$∵∠ACB=72°$

$∴∠AMC=36°=∠MAC$

$∴CM=AC=AB$

$解：设BE=1，则BC=AB=2，AE=\sqrt{AB^2+BE^2}=\sqrt 5$

$∵EB'=EB$

$∴AB''=AB'=\sqrt{5} -1$

$∴AB''∶AB=(\sqrt{5} -1)∶2$

$∴B''是AB的黄金分割点$