第53页 - 同步练习九年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

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$解:(3)∵△AEF∽△BCA $

$∴\frac {AF}{AB}=\frac {EF}{AC}$

$∵AF=4，CF=2$

$∴AC=6$

$∵AB=\frac 12EF$

$∴\frac 4{\frac 12EF}=\frac {EF}6$

$∴EF=4\sqrt 3$

$在Rt△AEF 中，∵EF=4\sqrt 3，AF=4$

$∴AE=\sqrt {EF^2-AF^2}=4\sqrt 2$（更多请点击查看作业精灵详解）

$解：(1)∵△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等$

$∴S_{△ABC}=2S_{△PQC}$

$∵PQ//AB$

$∴△ABC∽△PQC$

$∴\frac {CP}{AC}=\frac {\sqrt 2}2$

$∵AC=4$

$∴CP=2\sqrt 2$

$(2)∵△ABC∽△PQC$

$∴\frac {CP}{CQ}=\frac {AC}{BC}=\frac 43$

$设CP=4x，则CQ=3x，PA=4-4x，QB=3-3x$

$∵△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等$

$∴CP+CQ=PA+QB+AB$

$∴4x+3x=(4-4x)+(3-3x)+5$

$解得x=\frac 67$

$∴CP=4x=\frac {24}{7}$（更多请点击查看作业精灵详解）

$解：∵AF//BC$

$∴∠F=∠E$

$∵点D是AB的中点$

$∴AD=BD$

$在△ADF 和△BDE中$

$ \begin{cases}{∠F=∠E}\\{∠ADF=∠BDE}\\{AD=BD}\end{cases}$

$∴△ADF≌△BDE(\mathrm {AAS})$

$∴AF=BE$

$设AF=BE=x，则CE=BC+BE=8+x$

$∵∠F=∠E，∠AGF=∠CGE$

$∴△AGF∽△CGE$

$∴\frac {AF}{CE}=\frac {GA}{CG}=\frac 13$

$∴\frac x{8+x}=\frac 13$

$解得x=4$

$∴AF=4$

$解：(1)相切，理由如下$

$连接BC$

$∵∠EAB=∠ADB$

$∴∠EAC=∠EAB+∠BAC=∠ADB+∠BAC=∠ACB+∠BAC$

$∵AC是\odot O的直径$

$∴∠ABC=90°$

$∴∠EAC=∠ACB+∠BAC=90°$

$∴AE与\odot O相切$

$解:(2)相似，理由如下：$

$∵△AEF是直角三角形，点B是EF的中点$

$∴BA=BF$

$∴∠BAC=∠AFE$

$∵∠EAF=∠ABC=90°$

$∴△AEF∽△BCA$

$解:(3)分两种情况$

$①过点P作PM⊥AB，垂足为点M，$

$要使△PQM为等腰直角三角形，$

$则PM=PQ$

$∵△PQC∽△ABC，PM=PQ$

$∴\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-PM}{\frac {12}{5}}=\frac {\frac {12}{5}-PQ}{\frac {12}{5}}$

$∴PQ=\frac {60}{37}$

$②当∠PMQ=90°时，$

$要使△PQM为等腰直角三角形，$

$则有\frac {PQ}5=\frac {\frac {12}{5}-\frac 12PQ}{\frac {12}{5}}$

$解得PQ=\frac {120}{49}$

$综上所述，PQ的长为\frac {60}{37}或\frac {120}{49}$