第35页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

$解： \angle A E C=\angle A F C ，理由是： $

$ 连接 A C 交 B D 于点 O$

$ ∵四边形 A B C D 是平行四边形$

$ ∴O A=O C， O B=O D $

$ 又 ∵D E=B F$

$ ∴O E=O F $

$ ∴四边形 A F C E 是平行四边形$

$ ∴\angle A E C=\angle A F C $

$证明： ∵四边形 A B C D 是平行四边形$

$ ∴O D=O B， O A=O C， A B / / C D$

$ ∴\angle D F O=\angle B E O， \angle F D O=\angle E B O$

$ ∴\triangle F D O ≌ \triangle E B O$

$ ∴O F=O E$

$ ∴四边形 A E C F 是平行四边形 $

$解： A F=B E， A F / / B E ，理由是：$

$ 连接 A E 、 B F$

$ ∵A C / / B D$

$ ∴\angle C=\angle D$

$ 在 \triangle A O C 和 \triangle B O D 中$

$\begin{cases}{∠C=∠D}\\{∠COA=∠DOB}\\{AO=BO}\end{cases}$

$ ∴\triangle A O C ≌ \triangle B O D (\mathrm {AAS})$

$ ∴C O=D O $

$ ∵E 、 F 分别是 O C 、 O D 的中点$

$ ∴E O=\frac 12 \mathrm C O， F O=\frac 12 \mathrm D O$

$ ∴E O=F O$

$ 又 ∵A O=B O$

$ ∴四边形 A F B E 是平行四边形$

$ ∴A F=B E， A F / / B E $

解：假设等腰三角形的底角不是锐角，则为直角或钝角

$ 根据等腰三角形的两个底角相等，则两个底角的和大于或等于 180° $

$ 则该三角形的三个内角和一定大于 180° $

这与三角形内角和定理相矛盾，故假设不成立

∴等腰三角形的底角是锐角

$证明：∵四边形ABCD是平行四边形$

$ ∴AD=BC$

$ ∵△ADE和△BCF是等边三角形$

$ ∴AD=DE，BC=BF$

$ ∴DE=BF$

$ ∵DE//BF$

$ ∴∠DEP=∠BFP$

$ 在△PDE和△PBF 中$

$ \begin{cases}∠DEP=∠BFP\\∠DPE=∠BPF\\DE=BF\end{cases}$

$ ∴△PDE≌△PBF(\mathrm {AAS})$

$ ∴EP=FP$