第43页 - 同步练习八年级数学苏科版江苏凤凰科学技术出版社

$解：四边形 A E D F 是菱形，理由： $

$ ∵D E / / A C， D F / / A B$

$ ∴四边形 A E D F 是平行四边形$

$ ∵A D 平分 \angle B A C， D F / / A B$

$ ∴\angle B A D=\angle F A D= \angle F D A$

$ ∴A F=D F $

$ ∴四边形 A E D F 是菱形 $

$证明： ∵A P / / B D， D P / / A C$

$ ∴四边形 A O D P 是平行四边形$

$ ∵四边形 A B C D 是矩形$

$ ∴O A=O D $

$ ∴▱ A O D P 是菱形 $

$解：当 α=90° 时，四边形 E D B C 是菱形$

$ ∵∠α=∠ACB=90° $

$∴BC//ED$

$ ∵CE//AB $

$∴四边形EDBC是平行四边形$

$ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，设BC=2t$

$ ∴∠A=30°$

$ ∴AB=4t，AC=2\sqrt 3t$

$ ∴AO=\frac 12AC=\sqrt 3t$

$ 在Rt△AOD中，∠A=30°，OD=\frac 12AD$

$ AD=\sqrt {OA^2+OD^2}=\sqrt {(\sqrt 3)^2+\frac 12(\mathrm {AD})^2}=2t$

$ ∴BD=2t$

$ ∴BD=BC$

$ ∴平行四边形EDBC是菱形$

$证明：∵∠ACB=90° $

$∴∠CDA +∠CAD= 90°$

$ ∵CH是高 $

$∴CH⊥AB$

$ ∴∠CHA = 90°，∠DAB +∠AFH = 90°$

$ ∵AD是角平分线 $

$∴∠CAD=∠DAB$

$ ∵∠AFH =∠CFD $

$∴∠CDA= ∠CFD$

$ ∴CF= CD$

$ ∵DE⊥AB，∠ACB = 90° ，AD是角平分线$

$ ∴CD=DE$

$ ∴CF= DE$

$ ∵DE⊥AB，CH⊥AB $

$ ∴CH // DE$

$ ∴四边形CDEF是平行四边形$

$ ∵CD= DE$

$ ∴四边形CDEF 是菱形$