$ (1) $证明：在$ \triangle P A D $和$ \triangle P C D $中
$ \begin{cases}A D=C D\\\angle P D A=\angle P D C\\P D=P D\end{cases}$
∴$\triangle P A D ≌ \triangle P C D (\mathrm {SAS})$
∴$P A=P C$
∵$P A=P E$
∴$P C=P E $
解：$(2) $由$ (1) $知，$ \triangle P A D ≌ \triangle P C D$
∴$\angle D A P=\angle D C P $
∵$P A=P E$
∴$\angle D A P=\angle E$
∴$\angle D C P=\angle E$
∵$\angle C F P=\angle E F D $
∴$180°-\angle P F C -\angle P C F=180°-\angle D F E-\angle E ，$ 即$ \angle C P F=\angle E D F=90° $
$ (3) $由$ \triangle P A D ≌ \triangle P C D ，$ 得$ P A=P C ，$$ \angle D A P=\angle D C P $
∵$P A=P E$
∴$\angle D A P=\angle D E P$
∴$\angle D C P=\angle D E P$
∵$\angle C F P=\angle E F D $
∴$180°-\angle P F C-\angle P C F=180°-\angle D F E-\angle D E P $
即$ \angle C P F=\angle E D F=180°-\angle A D C= 180°-120°=60°$
∴$\triangle E P C $是等边三角形
∴$P C=C E$
∴$A P=C E $
