证明：$(1) $取$ A D $的中点$ F $，$ $连接$ F M$
∵$∠A=90°$
∴$∠A D M+∠A M D=90° $
∵$M N \perp D M $
∴$∠A M D+∠B M N=90° $
∴$∠A D M=∠B M N①$
∵四边形$ A B C D $是正方形，$ M $、$ F $分别是$ $
$A B $、$ A D $的中点
∴$D F=A F=A M=B M$
∵$∠A=90°$
∴$∠A F M=∠A M F=45°$，$ ∠D F M=135° $
∵$B N $是$ ∠C B E $的平分线
∴$∠C B N=45°$，$ ∠D F M=∠M B N=135° ②$
∵$D F=B M③$
∴$\triangle D F M ≌ \triangle M B N (\mathrm {ASA})$
∴$D M=M N $
解：$ (2) $结论$ “ D M=M N ” $仍成立$. $证明：
在$ A D $上截取$ A F'=A M $，$ $连接$ F' \mathrm M $
∵$D F'=A D-A F'$，$ B M=A B-A M$，$ A D=A B$，$ A F'=A M$
∴$D F'=B M$
∵$∠F' \mathrm D M+ ∠D M A=∠B M N+∠D M A=90°$
∴$∠F' \mathrm D M=∠B M N $
又$ ∠D F' \mathrm M=∠M B N=135° $
在$ \triangle D F' \mathrm M $和$ \triangle M B N $中
$ \begin{cases}∠F' \mathrm D M=∠B M N\\D F'=B M\\∠D F' \mathrm M=∠M B N\end{cases}$
∴$\triangle D F' \mathrm M ≌ \triangle M B N $
∴$D M=M N $
