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$解：(1)根据“和积数"的定义，得c=(4+1)×(-2+1)=-5$

$(2)根据题意，得c=(a+1)(b+1)=ab+a+b+1.$

$因为ab=\frac{1}{2}，a^2+b^2=8，$

$所以(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=8+1=9，$

$所以 a+b=3或a+b=−3.$

$当a+b=3时，c=\frac{1}{2}+3+1=\frac{9}{2}；$

$当a+b=−3时，c=\frac{1}{2}−3+1=−\frac{3}{2}.$

$综上所述，c的值为\frac{9}{2}或−\frac{3}{2}$

$解：(1)x^2+6x+4=x^2+6x+9-9+4=(x+3)^2-5，$

$所以对称轴为x=-3$

$(2)因为x^2−kx+4=(x−\frac{k}{2})^2+4−\frac{k^2}{4}，且关于x=3对称，$

$所以\frac{k}{2}=3，解得k=6$

$解：(1)当x=\frac{1}{2}，y=-3时，2x+y=2×\frac{1}{2}-3=-2≠4，$

$所以①不是二元一次方程2x+y=4的“数对解"，$

$当x=-1，y=6时，2x+y=2×(-1)+6=4，$

$所以②是二元一次方程2x+y=4的“数对解".$

$当x=1，y=2时，2x+y=2×1+2=4，所以③是二元一次方程2x+y=4的“数对解".$

$综上所述，②③是二元一次方程2x+y=4的“数对解"$

$(2)因为有序数对(p+q，p+5)为方程2x-y=1的一个“数对解"，$

$所以2(p+q)-(p+5)=1，化简，得p+2q=6$

$因为p，q为正整数$

$所以\begin{cases}{p=4}\\ {q=1}\end{cases}或\begin{cases}{p=2}\\ {q=2}\end{cases}$