解:$(1)$设第一批箱装饮料每箱的进价是$x$元,则第二批每箱的进价是$(x+20)$元
根据题意,得$\frac {6000}x×\frac 43=\frac {8800}{x+20}$
解得$x=200$
经检验,$x=200$是所列方程的解,且符合题意
∴第一批箱装饮料每箱的进价是$200$元
$(2)$由$(1),$得第一批购进$\frac {6000}{200}=30($箱$),$第二批购进$ 30×\frac 43=40($箱$)$
设每箱饮料的标价为$y$元
根据题意,得$(30+40-10)y+0.8×10y≥(6000+8800)×(1+36\%)$
解得$y≥296$
答:每箱饮料的标价至少为$296$元。