解：$(1)$如图，连接$AD，$交$x$轴于点$E$
∵四边形$AODC$是菱形
∴$AD⊥OC，$$AE=DE，$$EC=OE$
∵$D(1，$$-2)，$∴$OE=1，$$ED=2$
∴$AE=DE=2，$$EC=OE=1，$∴$A(1，$$2)$
将$A(1，$$2)$代入直线$y=k_{1}x+1，$得$k_{1}+1=2，$解得$k_{1}=1$
将$A(1，$$2)$代入反比例函数$y=\frac {k_{2}}x，$得$2=\frac {k_{2}}1，$解得$k_{2}=2$
∴一次函数的表达式为$y=x+1，$反比例函数的表达式为$y=\frac 2x$
$(2)$联立一次函数与反比例函数表达式
得$\begin {cases}{ y=x+1}\\{y=\frac 2x}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{x=1}\\{y=2}\end {cases}，$或$\begin {cases}{x=-2}\\{ y=-1}\end {cases}$
则反比例函数值大于一次函数值时，$x$的取值范围为$x＜-2$或$0＜x＜1$
$(3)$∵$OC=2OE=2，$$AD=2DE=4$
∴$S _{菱形OACD}=\frac 12OC· AD=4$
∵$S_{△OAP}=\frac 12 S_{菱形O ACD}$
∴$S_{△OAP}=2$
设$P(a，$$a+1)，$$AB$与$y$轴相交于点$F，$则$F(0，$$1)，$∴$OF=1$
∵$S_{△OAF}=\frac 12×1×1=\frac 12$
当点$P $在点$A$的左侧时，
$S_{△FOP}=\frac 12(-a)· OF=-\frac 12a=S_{△OAP}-S_{△OAF}=2-\frac 12=\frac 32$
解得$a=-3，$$a+1=-2，$∴$P(-3，$$-2)$
当点$P $在点$A$的右侧时，
$S_{△FOP}=\frac 12a·OF=\frac 12a=S_{△OAP}+S_{△OAF}=2+\frac 12=\frac 52$
解得$a=5，$$a+1=6，$∴$P(5，$$6)$
综上所述，点$P $的坐标为$(-3，$$-2)$或$(5，$$6)$
