第123页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

解：$(1)$在$y=x+2$中，令$x=0，$得$y=2，$令$y=0，$得$x=-2$

∴$A(0，$$2)，$$B(-2，$$0)$

∵$AB=\frac 12BC，$∴$A$为$BC$的中点，∴$C(2，$$4)$

把$C(2，$$4)$代入$y=\frac {k}x，$得$4=\frac {k}2，$解得$k=8$

$(2)$∵点$D$的纵坐标为$-2$

∴将$y=-2$代入$y=\frac 8{x}，$得$ -2=\frac 8{x}$

∴$x=-4，$∴$D(-4，$$-2)$

∴$S_{△DOC}=S_{△DOB}+S_{△COB}=\frac 12×2×2+\frac 12×2×4=6$

∴$∆CDO$的面积是$6$

解：$(1)$如图，作$CE⊥AB，$垂足为$E$

∵$AC=BC，$$AB=8，$∴$AE=BE=4$

在$Rt∆BCE$中，$BC=5，$$BE=4$

∴$CE=\sqrt {BC^2-BE^2}=\sqrt {5^2-4^2}=3$

∵$OA=8，$∴点$C$的坐标为$(5，$$4)$

∵反比例函数$y=\frac {k}x(x＞0)$的图像经过点$C$

∴$k=5×4=20$

$(2)$设点$A$的坐标为$(m，$$0)$

∵$BD=BC=5，$$AB=8，$∴$AD=3$

∴$D，$$C$两点的坐标分别为$(m，$$3)，$$(m-3，$$4)$

∵点$C，$$D$都在反比例函数$y=\frac {k}x(x＞0)$的图像上

∴$3m=4(m-3)，$∴$m=12$

∴点$C$的坐标为$(9，$$4)$

∴$OC= \sqrt {9^2+4^2}= \sqrt {97}$

解：$(1)$将$B(3，$$4)$代入$y_{2}=\frac {m}x，$得$m=3×4=12$

∴反比例函数表达式为$y_{2}=\frac {12}x$

将$A(-4，$$n)$代入反比例函数，得$n=-3$

∴$A(-4，$$-3)$

∵直线$y_{1}=kx+b$过点$A$和点$B$

∴$\begin {cases}{-3=-4k+b}\\{4=3k+b}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{k=1}\\{b=1}\end {cases}$

∴一次函数的表达式为$y=x+1$

$(2)$∵$PQ⊥x$轴

∴$S_{△BPQ}=\frac 12\ \mathrm {P}Q· (x_{B}-x_{D})=\frac 12\ \mathrm {P}Q· (3-t)，$

$S_{△APQ}=\frac 12\ \mathrm {P}Q· (x_{D}-x_{A})=\frac 12\ \mathrm {P}Q· (t+4)$

又∵$S_{△BPQ}=\frac 12 S_{△APQ}，$∴$\frac {S_{△BPQ}}{S_{△APQ}}=\frac 12$

∴$\frac {\frac 12PQ×(3-t)}{\frac 12PQ×(t+4)}=\frac 12，$即$\frac {3-t}{t+4}=\frac 12$

解得$t=\frac 23$

$(3)$设直线$QM$与双曲线交于点$C$

依题意可知，$P(t，$$\frac {12}{t})，$$Q(t，$$t+1)，$$C(\frac {12}{t+1}，$$t+1)$

∴$QM=PQ=\frac {12}{t}-t-1，$$Q C=\frac {12}{t+1}-t$

∴$QM-Q C=\frac {12}{t}-t-1-(\frac {12}{t+1}-t)=\frac {12}{t(t+1)}-1$

∵$0＜t＜3，$∴$0＜t(t+1)＜12$

∴$\frac {12}{t(t+1)}＞1，$即$QM-Q C＞0$

∴$QM＞Q C，$

即边$QM$与双曲线$y_{2}=\frac {m}x$始终有交点