$(1)$证明：∵四边形$ABCD$是平行四边形
∴$∠B=∠D=60°，$$AB=CD=6a，$$AD=BC=6b$
∵$BE=\frac 12\ \mathrm {A}E，$∴$AB=AE+\frac 12\ \mathrm {A}E$
∴$AE=4a，$$BE=DG=2a，$$CG =4a$
同理$AH=CF=2b，$$DH=BF=4b$
在$∆DGH$和$∆BEF $中
$\begin {cases}{DH=BF}\\{∠D=∠B}\\{DG =BE}\end {cases}$
∴$∆DG H≌∆BEF(S AS)$
∴$GH=EF$
同理$∆AEH≌∆CGF(S AS)$
∴$EH=GF$
∴四边形$EFGH$是平行四边形
解：$(2)$分别过点$H，$$F $作$HP⊥CD，$$FQ⊥CD，$
交直线$CD$于点$P，$$Q$
∵在平行四边形$ABCD$中，$AD//BC$
∴$∠D=∠BCQ =60°$
∴$∠DHP=∠CFQ =30°$
∴$DP=\frac 12DH=2b，$$CQ=\frac 12CF=b$
∴$PH= \sqrt {DH^2-DP^2}=2 \sqrt 3b，$$FQ=\sqrt {CF^2-CQ^2}=\sqrt 3b$
∴$PG=DG-DP=2a-2b，$$Q G=Q C+CG=4a+b$
∵四边形$EFGH$是菱形
∴$G H=G F$
∴$PG^2+PH^2=G Q^2+FQ^2$
∴$(2a-2b)^2+(2\sqrt 3b)^2=(4a+b)^2+(\sqrt 3b)^2$
化简，得$12a^2+16ab-12b^2=0，$即$3b^2-3a^2=4ab$
两边同除以$3ab$得$\frac {b}a-\frac {a}b=\frac 43$
$(3)$不能，理由如下：
如图，若四边形$EFGH$是正方形
则$HG=FG，$$∠HGF=90°$
∴$∠HGP+∠FGQ=90°$
∵$HP⊥CD，$∴$∠HGP+∠GHP=90°$
∴$∠FGQ=∠GHP$
在$∆PHG $和$∆Q G F $中
$\begin {cases}{∠HPG=∠GQ F}\\{∠PHG=∠Q G F}\\{HG=GF}\end {cases}$
∴$∆PHG≌△Q G F (\mathrm {AAS})$
∴$HP=GQ，$$PG=QF$
∴$2\sqrt 3b=4a+b，$$2a-2b=\sqrt 3b$
解得$a=0，$$b=0$
∴四边形$EFGH$不能为正方形
