解：$(1)$连接$BE$交$AC$于点$M，$作$DN⊥AC $于点$N$
∵四边形$ABCD$是矩形，$AB=6\ \mathrm {cm}，$$BC=8\ \mathrm {cm}$
∴$DC=AB=6\ \mathrm {cm}，$$AD=BC=8\ \mathrm {cm}，$
$∠ABC=∠ADC=90°$
∴$AC= \sqrt {AB^2+BC^2}= \sqrt {6^2+8^2}=10(\mathrm {cm})$
∵将矩形沿着$AC$折叠，点$B$落在点$E$处
∴$AE=AB=6\ \mathrm {cm}，$$EC=BC=8\ \mathrm {cm}，$
$AC$垂直平分$BE，$$∠AEC=∠ABC=90°$
∴$EM//DA$
∵$S_{△CAE}=S_{△ACD}=\frac 12×6×8=24(\mathrm {cm}^2)$
∴$\frac 12\ \mathrm {A}C· EM=\frac 12\ \mathrm {A}C· DN=24$
∴$\frac 12×10EM=\frac 12×10DN=24$
∴$EM=DN=\frac {24}5$
∴四边形$DEMN$是平行四边形，∴$ED=MN$
∵$∠AME=∠CND=90°$
∴$AM=CN= \sqrt {6^2-(\frac {24}5)^2}=\frac {18}5(\mathrm {cm})$
∴$ED=MN=AC-AM-CN$
$=10-\frac {18}5-\frac {18}5=\frac {14}5(\mathrm {cm})$
即$ED$的长是$\frac {14}5\ \mathrm {cm}$
$(2)$连接$BD，$$BG$
∵$∠A=90°，$$AB=6\ \mathrm {cm}，$$AD=8\ \mathrm {cm}$
∴$BD= \sqrt {AB^2+AD^2}= \sqrt {6^2+8^2}=10(\mathrm {cm})$
∵将矩形纸片折叠，点$B$与点$D$重合，折痕为$GH$
∴$GH$垂直平分$BD$
∴$BG=DG，$$BH=DH$
∴$∠G DB=∠G BD，$$∠HBD=∠HDB$
∵$AD//BC，$∴$∠G DB=∠HBD$
∴$∠G BD=∠HDB，$∴$BG//DH$
∴四边形$BG DH$是平行四边形
∵$AB^2+AG^2=BG^2，$$AG=8-DG$
∴$6^2+(8-DG)^2=DG^2$
解得$DG=\frac {25}4$
∵$\frac 12BD· GH=DG· AB=S_{四边形BGDH}$
∴$\frac 12×10GH=\frac {25}4×6$
解得$GH=\frac {15}2$
∴折痕$GH$的长是$\frac {15}2\ \mathrm {cm}$
