第190页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$2\sqrt {3}$

$4-2\sqrt {3}$

解：$x^2+2(x+3)=x(x+3)$

解得$x=6$

检验：当$x=6$时，$x(x+3)≠0$

∴$x=6$是原方程的解

解：$6x-2+3x=1$

$x=\frac 13$

检验：当$x=\frac 13$时，$3(3x-1)=0$

∴$x=\frac 13$是增根，原方程无解

解：$(1)$设乙种图书每本的进价为$x$元，则甲种图书每本的进价为$(x+30)$元

由题意，得$\frac {1350}{x+30}=\frac {900}x$

解得$x=60$

经检验，$x=60$是所列方程的解且符合题意

∴$x+30=90$

答：甲种图书每本的进价为$90$元，乙种图书每本的进价为$60$元。

$(2)$设购进甲种图书$m $本，则购进乙种图书$(140-m)$本

由题意，得$W=90m+60(140-m)=30m+8400$

∵$30＞0，$∴$W_{随}m $的增大而增大

∵甲种图书的数量比乙种图书的数量至少多$12$本

∴$m-(140-m)≥12，$解得$m≥76$

∴当$m=76$时，$W $取得最小值，此时$W=10680，$$140-m=64$

答：购进甲种图书$76$本，乙种图书$64$本时，总费用最少，最少为$10680$元。

解：$(1)$∵点$A(1，$$2)，$$B(-2，$$m)$在反比例函数$y_{2}=\frac kx (k≠0)$的图像上

∴$-2m=2=k，$∴$m=-1，$$y_{2}=\frac 2x，$∴$B(-2，$$-1)$

将$A(1，$$2)，$$B(-2，$$-1)$代入$y_{1}=ax+b$

得$\begin {cases}{a+b=2}\\{-2a+b=-1}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{a=1}\\{b=1}\end {cases}$

∴$y_{1}=x+1$

∴一次函数的表达式是$y_{1}=x+1，$反比例函数的表达式是$y_{2}=\frac 2x$

$(2)$由图像知，当$y_{1}＜y_{2}$时，$x$的取值范围为$x＜-2$或$ 0＜x＜1$

$(3)$由题意，得直线$l_{1}$与$x$轴交于点$(-1，$$0)，$点$D$的坐标为$(1，$$-1)$

$ $当直线$l_{2}，$$l_{1}，$$x$轴不能围成三角形时，有$2$种情况：

$ ①l_{1}//l_{2}，$$m=a=1$

$ ②l_{1}$与$l_{2}，$$x$轴交于一点，即$l_{2}$经过点$(-1，$$0)$和$(1，$$-1)$

∴$\begin {cases}{-m+n=0}\\{m+n=-1}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{m=-0.5}\\{n=-0.5}\end {cases}$

综上，$m $的值为$1$或$-0.5$

证明：$(1)$如图$①，$过点$M$作$MG⊥DC$于点$G$

∴$∠MG D=90°$

∵四边形$ABCD$是正方形

∴$∠C=∠B=90°，$∴$∠1+∠2=90°$

∵$∠DEF=90°，$∴$∠2+∠3=90°，$∴$∠1=∠3$

又∵$∠MG D=∠B=90°，$$DM=EF$

∴$∆DGM≌△EBF(\mathrm {AAS})，$∴$DG=EB$

∵$MG⊥DC，$$MN⊥BC，$$∠C=90°$

∴$∠MG C=∠MNC=∠C=90°$

∴四边形$GMNC$是矩形

∴$MN=G C$

∴$MN+BE=G C+DG=CD$

$(2)$当点$E$在$BC$的延长线上时，如图②

过点$M$作$MG⊥DC$交$DC$的延长线于点$G，$则四边形$MNCG $是矩形

∴$MN=CG$

∵$∠DCE=90°，$$∠DEF=90°$

∴$∠1+∠2=90°，$$∠2+∠3=90°，$∴$∠1=∠3$

∵$∠DGM=∠EBF=90°，$$DM=EF$

∴$∆DGM≌△EBF(\mathrm {AAS})，$∴$DG=EB$

∵$DG=DC+CG，$∴$EB=DC+MN$

当点$E$在$CB$的延长线上时，如图③，过点$D$作$DG⊥MN$于点$G$

则四边形$G DCN$是矩形，∴$DC=GN$

∵$∠N=90°，$∴$∠1+∠2=90°$

∵$∠MEF=90°，$∴$∠2+∠3=90°，$∴$∠1=∠3$

∵$∠MG D=∠EBF=90°，$$MD=EF$

∴$∆MG D≌∆EBF(\mathrm {AAS})，$∴$MG=EB$

∵$MN=MG+GN，$∴$MN=BE+DC$