第194页 - 江苏版启东中学作业本八年级数学（上下册）

$=3\sqrt 2-\frac {\sqrt 2}2+\frac {2\sqrt 3}3×2 \sqrt 3$

$=3\sqrt 2-\frac {\sqrt 2}2+4$

$= \frac {5\sqrt 2}2+4$

$= \frac {2a-2}{(a-1)^2} - \frac {a+1}{(a-1)^2} - \frac {a^2-1}{(a-1)^2}$

$= \frac {2a-2-a-1-a^2+1}{(a-1)^2}$

$=\frac {-a^2+a-2}{a^2-2a+1}$

解：根据题意，设$y_{1}=\frac {m}{x-2}，$$y_{2}=k(2x+3)，$即$y=y_{1}+y_{2}=\frac {m}{x-2}+k(2x+3)$

将$x=1，$$y=5；$$x=3，$$y=\frac 35$分别代入，

得$\begin {cases}{-m+5k=5}\\{m+9k=\frac 35}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{m=-3}\\{ k=\frac 25}\end {cases}$

则$y=-\frac 3{x-2}+\frac 25(2x+3)$

$(1)$证明：根据小明的作法知$CF=AE$

∵四边形$ABCD$是平行四边形

∴$AD//BC，$即$AE//CF$

又$AE=CF$

∴四边形$AF CE$是平行四边形

∴$AF//CE$

$(2)$解：以点$A$为圆心，$CE$的长为半径作弧，

交$BC$于点$ F，$此时会有两个交点，只有其中之一

符合题意，故小红的作法有问题

$(1)①$证明：∵四边形$ABCD$是正方形

∴$∠ADB=∠CDB=45°，$$DA=DC$

在$∆DAH$和$∆DCH$中

$\begin {cases}{DA=DC}\\{∠ADH=∠CDH}\\{DH=DH}\end {cases}$

∴$∆DAH≌△DCH$

∴$∠DAH=∠DCH.$

②解：$∆GF C$是等腰三角形$ ，$理由：

∵$CG⊥HC，$∴$∠F CG+∠DCH=90°$

又由$①$知$∠DAH=∠DCH$

∴$∠F CG+∠DAF=90°$

∵$∠DF A+∠DAF=90°，$$∠DF A=∠CFG$

∴$∠CFG=∠F CG$

∴$GF=G C$

∴$∆GF C$是等腰三角形

$(2)$解：如图①，当点$F $在线段$CD$上时，连接$DE$

∵$∠GF C=∠G CF，$$∠GEC+∠GF C=90°，$

$∠G CF+∠G CE=90°$

∴$∠G CE=∠GEC，$∴$EG=G C=FG$

∵$FM=MD，$∴$DE=2MG=5$

在$Rt∆DCE$中，$CE=\sqrt {DE^2-DC^2}= \sqrt {5^2-4^2}=3$

∴$BE=BC+CE=4+3=7$

如图②，当点$F $在线段$DC$的延长线上时，连接$DE$

同理可知$GM$是$∆DEF $的中位线

∴$DE=2GM=5$

在$Rt∆DCE$中，$CE=\sqrt {DE^2-DC^2}= \sqrt {5^2-4^2}=3$

∴$BE=BC-CE=4-3=1$

综上所述，$BE$的长为$7$或$1$