解：$(1)$把$A(4，$$1)$代入$y_{1}=\frac {k_{1}}x，$得$k_{1}=4$
∴$y_{1}=\frac 4x$
将点$A(4，$$1)$代入直线$y 2=\frac {x}{k_{2}}，$得$k_{2}=4$
∴$y_{2}=\frac 14x$
$(2)$∵点$P(a，$$b)$在双曲线$y_{1}=\frac 4x$上，∴$ab=4$
∵$4a=b，$∴$4a^2=4，$∴$a=±1$
∵$0＜a＜4，$∴$a=1，$∴$P(1，$$4)$
又∵双曲线$y_{1}=\frac 4x$与直线$y_{2}=\frac {x}4$交于$A，$$B$两点，且$A(4，$$1)$
∴$B(-4，$$-1)$
过点$P $作$PH⊥x$轴于点$H，$交$AB$于点$G$
把$x=1$代入$y=\frac 14x，$得$y=\frac 14$
∴$G(1，$$\frac 14)$
∴$PG=4-\frac 14=\frac {15}4$
∴$S_{△ABP}=\frac 12\ \mathrm {P}G· (x_{A}-x_{B})=\frac 12×\frac {15}4×8=15$
$(3)PE=PF，$理由：
∵点$P(a，$$b)$在$y_{1}=\frac 4x$的图像上
∴$b=\frac 4a$
∵$B(-4，$$-1)$
设直线$P B$的函数表达式为$y=mx+n$
∴$\begin {cases}{am+n=\frac 4{a}}\\{-4m+n=-1}\end {cases}，$解得$\begin {cases}{m=\frac 1{a}}\\{n=\frac 4{a}-1}\end {cases}$
∴直线$P B$的函数表达式为$y=\frac 1ax+\frac 4a-1$
当$y=0$时，$x=a-4$
∴点$E$的坐标为$(a-4，$$0)$
同理点$F $的坐标为$(a+4，$$0)$
∵点$P $的坐标为$(a，$$b)，$$PH⊥x$轴
∴点$H$的坐标为$(a，$$0)$
∴$EH=a-(a-4)=4，$$FH=a+4-a=4$
∴$EH=FH$
∴$PE=PF$
