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$证明：(1)在△AEM和△DEN中$

$ \begin{cases}∠NDE=∠MAE\\∠NED=∠MEA\\DE=AE\end{cases}$

$ ∴△DEN≌△AEM(\mathrm {AAS})$

$ ∴DN=AM$

$ ∵DN//AM$

$ ∴四边形AMDN是平行四边形$

$ (2)当AM=1时，四边形AMBN是矩形$

$ ∵AB=AD=2，AM=1，∠DAB=60°$

$ ∴∠DMA=90°$

$ ∴四边形AMDN是矩形$

$证明：(1)①∵△ABC和△ADE是等边三角形$

$ ∴AB=AC ，AE=AD，∠DAE=∠BAC=60°$

$ ∴∠DAE-∠BAD=∠BAC-∠BAD，即∠BAE=∠CAD$

$ ∴△AEB≌△ADC(\mathrm {SAS})$

$ ②四边形BCGE是平行四边形，理由如下：$

$ 由①得△AEB≌△ADC$

$ ∴∠ABE=∠C=60°$

$ 又∵∠BAC=∠C=60°$

$ ∴∠ABE=∠BAC$

$ ∴BE//AC$

$ 又EF//BC$

$ ∴四边形BCGE是平行四边形$

$ (2)(1)中的结论仍成立$

$ (3)当CD=CB时，四边形BCGE是菱形，理由如下：$

$ 由△AEB≌△ADC，得BE=CD$

$ 又CD=CB$

$ ∴BE=CB$

$ 又知四边形BCGE是平行四边形$

$ ∴四边形BCGE是菱形$