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解：$(2)$周长为：$2(m+1+m+7)=2(2m+8)=4(m+4)$

∴正方形的边长为$(m+4)$

$S=(m+4)^2$

$S-S_{1}=(m+4)^2-(m+1)(m+7)$

$=\mathrm {m^2}+8m+16-\mathrm {m^2}-8m-7$

$=9$

∴$S-S_{1}$是一个常数，常数为$9$

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