解：$(1)$根据三角形内角和定理，
$∠B+∠BAM=∠M+∠BCM$
∴$∠BAM-∠BCM=∠M-∠B$
同理，$∠MAD-∠MCD=∠D-∠M$
∵$AM，$$CM$分别平分$∠BAD，$$∠BCD$
∴$∠BAM=∠MAD，$$∠BCM=∠MCD$
∴$∠M-∠B=∠D-∠M$
∴$∠M-28°=42°-∠M$
∴$∠M=35°$
$(2)$证明$：$∵$∠M+∠BCM=∠B+∠BAM$
$∠M+∠DAM=∠D+∠DCM$
∴$2∠M+∠BCM+∠DAM=∠B+∠D+∠BAM+∠DCM$
∵$AM$平分$∠BAD ，$$ CM$平分$∠BCD$
∴$∠BAM=∠DAM ，$$∠DCM=∠BCM$
∴$2∠M=∠B+∠D$
∴$∠M=\frac 12(∠B+∠D)$
