解：∵$DE$垂直平分$AC，$∴点$A、$点$C$关于$DE$对称
∴$AD = CD，$$EC = EA$
∵$\triangle BCE$的周长为$13，$∴$BE + EC + BC = 13$
∴$BE + AE + BC = 13，$即$AB + BC = 13$
∵$\triangle ABC$的周长为$19，$∴$AB + BC + AC = 19$
∴$AC = 6$
∵$AD = CD，$∴$AD = 3$
