解：$(1)$∵$B'N// A'M，$∴$∠B'NC=∠A'EC = 48°$
又∵$EC// MD，$∴$∠A'EC=∠EMD$
∴$∠A'MD = 48°$
$ (2) ①$∵$B'N// A'M，$∴$∠B'NC=∠A'EC =α$
又∵$EC// MD，$∴$∠A'EC=∠EMD=α$
∵$∠AMN+∠A'MN+∠EMD = 180°，$且$∠AMN=∠A'MN=β$
∴$2β+α= 180°，$则$β=\frac {180 - α}2$
②∵$∠DMN$被$A'M$平分，∴$∠A'MD=∠A'MN$
$ $又由翻折的性质得$∠AMN=∠A'MN$
∴$∠A'MD+∠A'MN+∠AMN = 180°，$即$3∠A'MD = 180°$
∴$∠A'MD = 180°÷3 = 60°$
