解：$(1)b＜c＜a，$理由如下：
因为$a={2}^{-44444}={({2}^{-4})}^{11111}={(\frac 1 {16})}^{11111}，$$b={3}^{-33333}={({3}^{-3})}^{11111}={(\frac 1 {27})}^{11111}，$
$c={5}^{-22222}={({5}^{-2})}^{11111}={(\frac 1{25})}^{11111}，$
又因为$\frac 1 {27}＜\frac 1 {25}＜\frac 1 {16}，$
所以${(\frac 1 {27})}^{11111}＜{(\frac 1 {25})}^{11111}＜{(\frac 1 {16})}^{11111}，$即$b＜c＜a$
$(2)①$当$2x+3=1，$则$x=-1；$
②当$2x+3=-1$且$x+2020$为偶数，则$x=-2；$
③当$x+2020=0，$则$x=-2020$
综上所述，当$x=-1$或$-2$或$-2020$时，${(2x+3)}^{x+2020}=1$成立
