解:$(1)$设每支$A$种型号的毛笔$x$元,每支$B$种型号的毛笔$y$元。
由题意得:$\begin {cases} {{3x+y=22}} \\{2x+3y=24} \end {cases}$
解得:$\begin {cases} {{x=6}} \\{y=4} \end {cases}$}}
答:每支$A$种型号的毛笔$6$元,每支$B$种型号的毛笔$4$元。
$(2)$设$A$种型号的毛笔$a$支。
由题意可得:$6a+4(80-a)≤420$
解得:$a≤50$
答:最多可以购买$50$支$A$种型号的毛笔。